第十章 无穷级数习题详解
因为 f(x)?2sinx3(???x??)是奇函数，所以an?0(n?0,1,2?)
bn?f(x)sinnxdx???????1?4?0x183?(?1)n?1nsin?sinnxdx??3?n?19n2?1n?1,2,3?故
f(x)?183?1(?1)n?1nsinnxx?(??,?). ?29n?1n?1?（2） a0????f(x)dx?????1?0edx?xe??1?1
an?1?????f(x)cosnxdx?1????0ex?cosnxdx??(excosnx?n?exsinnxdx)
00???(?1)ne??1??n?(esinx)?n?ecosnxdx?00x?x(?1)ne??1??n2an
(?1)ne??1即an?(n?1)，类似地可得： 2(n?1)?bn?f(x)sinnxdx???????1?1?0ex?sinnxdx??nan;
a0?e??1?(?1)ne??1故f(x)???ancosnx?bnsinnx???2(cosnx?nsinnx).
2n?12?n?1(n?1)?其中(???x???,x?n?,n?0,?1,?2,?)。
24．将函数f(x)?2x( 0?x??)分别展开成正弦级数和余弦级数.
解（1）正弦级数
?2x2,x?[0,?]?0,x?0对f(x)作奇延拓，得 F(x)?? ??2x2,x?(??,0)?再周期延拓F(x)到(??,??)，易见x??是一个间断点,
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第十章 无穷级数习题详解
F(x)的傅里叶系数为 an?0n?0,1,2?
1bn????f(x)sinnxdx?????2?02?222xsinnxdx?[(3?)(?1)n?3]n?1,2?
?nnn24由于x??处，f(?)?2?2?F(??0)?F(??0)，
2(0?x??).
2?22n故f(x)??[(?)(?1)?]sinnx3?n?1n3nn4?（2）余弦级数
对f(x)作偶延拓，得 F(x)?2x2,x?(??,?)，再周期延拓F(x)到(??,??)，则F(x)在(??,??)内处处连续，且F(x)?f(x),x?[0,?]，F(x)的傅里叶系数为：
a0?an?1?1??????f(x)dx?2???02x2dx?2?42? 38n2n?1,2?
???f(x)cosnxdx???02x2cosnxdx?(?1)nbn?0n?1,2?
?(?1)n22故 f(x)???8?cosnx23nn?1(0?x??).
?
? x , ?1?x?0 ;?
1?
5．设f(x)的周期为2，且f(x)?? 1 , 0?x? ; 使将其展开成傅立叶级数.
2?
1??1 , ?x?1 .??2
解 a0?11, f(x)dx?xdx?1?dx?(?1)dx????1??1??12210120an??f(x)cosn?xdx??xcosn?xdx??cosn?xdx??1(?1)cosn?xdx?1?12101201
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第十章 无穷级数习题详解
?1n2?1[1?(?1)n]?22n?sinn?20n?1,2,?.
120bn??f(x)sinn?xdx??xsinn?xdx??sinn?xdx??1(?1)sinn?xdx?1?121??2n?1cos?n?2n?n?1,2,?.
1,k?0,?1,?2,?, 2而在(??,??)上，f(x)的间断点为x?2k,2k?故f(x)??11?(?1)??{[22?4n?1n??n2sinn?n?1?2cos2]cosn?x?2sinn?x}, n?n?1(x?2k,x?2k?,k?0,?1,?2,?).
2?11?6．将f(x)?x，在(?，)上展开成傅立叶级数，并求级数?的和. ?22(?k??)n??解 a0?2?121?2f(x)dx?4?xdx?1201, 2??2n为奇数?xcos2n?xdx??(n?)2 , ?n为偶数?0an?2?f(x)cos2n?xdx?4?121?2120bn?0，n?1,2,?,
12故f(x)??24?cos2(2n?1)?x?(2n?1)2n?0??(?11?x?). 2212令上式x?0，有?24??1?0， ?2(2n?1)n?01?2因此 ?. ?28k?0(2k?1)- 23 -
第十章 无穷级数习题详解
习题10.7
1． 设篮球架上的篮筐到地面的距离为3.05m，一学生投篮未进，篮球落到地面后反弹到
原来高度的40%处，落地后又反弹，后一次反弹的高度总是前一次高度 的40%. 这样一直反弹下去，试求篮球反弹的高度之和. 解 设第n次的反弹高度为xn,根据题意
x1?3.05,x2?3.05?44?2,x3?3.05?()2?2,?, 10104xn?3.05?()n?1?2,?
10则篮球反弹的高度之和
S?x1?x2?x3???xn??
444?2?3.05?()2?2???3.05?()n?1?2?? 1010104444?2?[1??()2???()n?1??] ?3.05?3.05?10101010 ?3.05?3.05? ?3.05?3.05?2?4?10141?10?7.12.
即篮球的反弹高度之和为7.12m.
2. 2000年保险公司可以保证预定年利率一直是6.5%，几十年不变. 某人每年在保险公司存入1000元（每年按复利计算）. 试求（1）10年后，投资额累积（即本息和）是多少？（2）要存入多少年后才能存到10万元？ 解（1）由题意可知
(1?0.065)?1000 2001年本息和是10002002年本息和是1000(1?0.065)?1000(1?0.0065)?1000 …
922010年本息和是1000?(1?0.065)n?0n?14371.56（元）
（2） 由题意可知
k 1000?(1?0.065)n?0n?10?104
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第十章 无穷级数习题详解
即
?(1?0.065)n?0kn?100 k?31.2（年）
本章复习题一、选择题
1.A 2.C 3.D 4.A 5.B 6.D 7.D A
二、填空题 1.
12； 2. [0,2)
?3.
?(?1)nxn?3
n?04. ??12；??12
5.
23 x26. (x?1)2 二、判断题 1．√ 2．× 3．× 4．× 5．× 6．×
四、计算题
1.判断下列级数的敛散性：
?p（1）?(1?cos?) (pn?1n?0); ? （3）?(?1)n?1k?n（k?0）; n?1n2?(?1)n （5）?； n?1n?sinn ?）?(?1)n?1（7lnn； n?1n? 2. 求下列级数的收敛域:
- ? （2）?n?2nn?13n?2n；π?sinn （4）?3n?1n；? (6) ?2nn!n.
n?1n? （8）?n?tanπn?12n.
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