第十章 无穷级数习题详解
(?1)n1?1上式令x?1，??[f(1)?1]??. 22421?4nn?1?7．设In??π4 0sinxcosxdx，n?0,1,2,?，求?In.
n?n?0??sinn?1?解 In??40sinnxcosxdx??4sinnxdsinx?04?n?1(2n?1)2, n?1?xx?x1xn?11n因为 ????tdt???tndt??dt?ln(),
0001?t1?xn?0n?1n?0n?0?故
?In?1?n??n?0?(2n?1)12?ln()?ln(2?2).
n?121?2n8．求函数y?2x的麦克劳林公式中x项的系数.
解 y?2?exxln2?(xln2)n(ln2)nn????x
n!n!n?0n?0?(ln2)n故x的系数为.
n!nx2n9. 求幂级数1??(?1)(|x|?1)的和函数f(x)及其极值.
2nn?1?n?解 f?(x)??(?1)nx2n?1?n?1?x, 21?x?t12dt??ln(1?x)
01?t22x积分得f(x)?f(0)??x0f?(t)dt??因为 f(0)?1，故 f(x)?1?1ln(1?x2)(x?1)， 2- 36 -
第十章 无穷级数习题详解
1?x2令f?(x)?0，得驻点x?0，又f??(x)??,f??(0)??1?0, 22(1?x)故f(x)在x?0处有极大值，且极大值为f(0)?1.
2?an?1bn?1an310.设有幂级数?anx与?bnx，若lim试求幂级数?2xn的?,lim?3，
n??a5n??bnn?1n?1n?1bnn?n?n收敛半径.
2an解 令cn?2，则收敛半径为
bncababan2bn?125R?limn?limn2?n?12?limn2?n?1 ?lim()?lim()??9?5. 2n??cn??bn??n??n??an?1bn9an?1an?1bnn?1n11.设函数f(x)在闭区间[?1,1]上具有三阶连续微商，且f(?1)?0,f(1)?1, f?(0)?0. 证明：在开区间(?1,1)内至少存在一点?，使f???(?)?3.
2222证明 由于f(x)在闭区间[?1,1]上具有连续三阶导数，
则 f(x)?f(0)?f?(0)x?f??(0)2f???(?)3x?x(??(?1,1)) 2!3!f??(0)f???(?)， ?2!3!又因为f?(0)?0，f(1)?f(0)?f(?1)?f(0)?f??(0)f???(?)?2!3!.
f???(?)?1，即f???(?)?3 ??(?1,1). 上面两式相减，有f(1)?f(?1)?23!212.求函数f(x)?xln(1?x)在x?0处的n阶微商f(n)(0)(n?3).
?(?1)n?1xn(?1)n?1xn?2解 f(x)?xln( 1?x)?x???nnn?1n?122?f??(0)2f(n)(0)nx???x?? 而f(x)?f(0)?f?(0)x?2!n!- 37 -
第十章 无穷级数习题详解
(?1)n?3f(n)(0)(?1)n?3n!(n)?x的系数为，故f(0)?.
n?2n!n?2n13.设函数f(x)在区间[?a,a](a?0)上具有二阶连续微商，f(0)?0， (1)写出f(x)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式； (2)证明在[?a,a]上至少存在一点?，使
af??(?)?3?f(x)dx.
?a3 a解 （1）对任意x?[?a,a]，
f(x)?f(0)?f?(0)x?f??(?)2f??(?)2x?f?(0)x?x 其中?在0与x之间 2!2!a（2）
?a?af(x)dx??a?ax21af?(0)xdx??f??(?)dx??x2f??(?)dx
?a22?am?f??(x)?M，其中M,m分
因为f??(x)在[?a,a]上连续，故对任意的x?[?a,a]，有别为 f??(x)在[?a,a]上的最大、最小值，所以有
m?xdx??0a2a?aa1a2f(x)dx??xf??(x)dx?M?x2dx,
02?a即 m?3a3?a?af(x)dx?M.
3a3a所以，由介值定理，至少存在一点??[?a,a]，使f??(?)???af(x)dx,
即 a3f??(?)?3?a?af(x)d. x- 38 -