2．从外部的展开的思维发展到内部的压缩的思维
3．数感和符号感的逐步提高，支持着运算向灵活性、简洁性与多样性发展 儿童数学问题解决能力的发展： 1．语言表述阶段 2．理解结构阶段 3．多极推理能力的形成 4．符号运算阶段
我国有学者从数学的陈述性、程序性和策略性等三类认知学习的分类角度出发，将数学能力分为：
（1）认知 （2）操作 （3）策略 运算能力通常含有这样几个要素： 感知数字特征的能力；
算式恒等变形（处理数据）的能力； 对数的分解和组合的能力； 灵活运用法则以及性质和定律等。 数学观察能力。
观察是多种感觉器官对对象的一种有目的的知觉，通常就是指通过感觉器官迅速形成对外部事物或现象的印象（表象）的能力。 数学观察能力至少含有这样几个要素： 第一，对象的概括化的能力； 第二，知觉的形式化能力；
第三，空间结构的知觉能力；第四，逻辑模式的辨识能力。
按思维的层次划分，可以分为：动作思维，即思维过程中依赖识记动作的思维；形象思维，即用表象来支持自己的分析、综合、抽象、概括等过程的思维，也称“映象式思维”；抽象思维，即以概念、判断或推理等形式来反映客观事物本质属性的思维。 从数学思维的直觉性看，具有不同个性的数学能力大致可以分为： （1）分析—逻辑型 （2）几何—直觉型
数学能力的差异性往往还表现在其能力结构的差异性上面，从以下案例分析小学数学能力结构类型上的差异，从多角度进行分析，并判断各自能力的结构类型。
件和有关知识对事物的数量或运算结果作出的一种大致的判断。 技能学习（规则学习）大致要经历认知、联结和自动化这三个阶段。
首先表现在对规则理解和掌握的阶段性。例如，儿童对“加法”的理解，最早是建立在自己“数数”活动的基础之上的。
（一）数学规则之间的关系 1．上位、下位关系 2．并列关系 （二）数学规则学习的基本模式 1．例证—规则 2．规则—例证
数学规则学习的主要策略： （一）数学规则的引入 （二）数学规则的建立 （三）数学规则的巩固和运用
数感就是指：理解数的意义，能用多种方法表示数；能在具体情境中把握数的大小关系；能用数来表达和交流信息，能为解答问题而选择适当的算法，能估计运算的结果，并对结果的合理性作出解释。
如何结合生活实际，培育儿童数感？
数感的培养有利于学生养成数学地认识和理解现实生活的态度和意识，有利于学生从现实生活中提出问题并解决问题的能力的提高，有利于培养学生的创新精神与实践能力。
1．在现实背景下，感受数的含义，体验数的运用 2．在现实背景下，体验运算的意义 3．在现实背景下，理解和掌握运算法则 4．在现实背景下，进行运算的训练
算法的多样化：由于儿童数学能力的水平差异，以及他们对数的认知模式的差异以及数感的不同，在运算中的思维推理过程会有较大的差异，这就形成了不同儿童的算法的多样化。 猜测是一种以已有的知识和经验为基础，以观察或实验得到的感性材料为依据，通过联想或归纳、类比，对研究对象作出判断的思维方式。
作为数学科学的空间几何是一种论证几何，或称之为证明几何，而作为小学数学课程的空间几何是一种直观几何，或称之为经验几何、实验几何。
《数学课程标准》中，除了保留原有的几何初步知识外，还增加了图形与变换、图形与位置等内容。
空间观念，就是指物体的形状、大小、位置、距离、方向等形象 在人头脑中的映象，是空间知觉经过加工后所形成的表象。
小学几何学习主要目标从内容特征角度可以如何描述？ 小学几何学习的基本目标： 1．使学生获得有关线、角、简单平面图形和立体图形的知觉映象 2．使学生能建立有关长度、面积或体积等的基本概念 3．能够对不太远的物体间的方位、距离和大小有较正确的估计 4．能从较复杂的图形中辨别有各种特征的图形
水平2被认为属于描述/分析阶段。 水平3被认为属于抽象/关联阶段。
空间想象能力，是指对客观事物的空间形式进行观察、分析、归纳和抽象的能力。
空间想象能力包含要素： 第一，依据实物建立模型的能力； 第二，依据模型还原实物的能力；
第三，依据模型抽象出特征、大小和位置关系的能力； 第四，能将模型或实物进行分解与组合的能力。 儿童的空间观念的形成大致经历这样几个阶段：
具体（实物直观，例如具有相应几何形体的实物）→半具体（模像直观，例如已被构造出来的实物模型）→半抽象（图像抽象，例如用图呈示的标准图形）→抽象（概念抽象，在大脑中建立对象的本质属性）。 儿童空间几何学习的特点： 1．经验是儿童几何学习的起点 2．操作是儿童构建空间表象的主要形式
儿童形成空间观念的主要知觉的障碍： （一）空间识别障碍 （二）视觉知觉障碍 观察形体特征是获得对象性质的基础。
举例说明在小学生空间几何教学中如何落实“强化动手操作”这个策略？
儿童“做数学”的操作活动，依据儿童的年龄特点以及学习目标的不同，其形式是多种多样的。 （一）搭建活动
这类活动通常在低年级儿童的几何学习中运用得较多，在儿童几何形体认识的最初阶段，教师可以安排儿童进行一些实物、积木或几何学具的搭建活动，让儿童在自己的活动中去体验各种形体的形状特征，并初步形成空间的方位感、形体大小感等表象。 （二）剪拼与折叠活动
剪拼活动是小学几何学习中最常见的一种儿童活动形式。能将空间推理的过程用直观的方式
显示出来，有助于发展儿童的空间思维能力。例如，学习三角形、平行四边形或其他图形的面积计算方法时，通常就是让学生通过对图形的剪拼活动，将图形转化为一个已知求积方法的图形，从而归纳出求积公式。
折叠也是在小学几何学习中常常采用的一种操作活动形式。 （三）实物操作活动
实物操作活动按目的分，一般有两类：一类是演示操作类，即通过实物的操作活动，将对象的形状特征充分、直观地展示出来。另一类是实验操作类，即通过实物的操作活动，来发现对象的形状特征。
演示类或实验类实物操作，使儿童发现结论固然重要，但更重要的还要使他们从中学会一些思考方法，逐渐形成一些问题解决的思考策略。 （四）测量活动
测量也是一种在小学几何学习中非常有价值的操作活动。通过测量活动，能使对象的形状特征更明显地显示出来。 （五）作图活动
作图活动也是帮助儿童理解形体特征，发展空间概念的一个有效的操作活动。 课程与教学的基本意义： 1．形成合理解读数据的能力 2．提高科学认识客观世界的能力
3．发展在现实情境中解决实际问题的能力（不是提高解题能力）
对事件发生的可能性的认识：