第4章 电路定理
第4章 电路定理
教学提示：本章主要介绍电路的基本定理，这些定理有助于揭示电路的基本性质、加深对电路的理解和简化其输出响应的求解。电路的基本定理主要有齐次定理、叠加定理、戴维宁定理、诺顿定理、最大功率传输定理等。这些定理除了能揭示电路的基本性质外，还经常用于具体电路问题的求解。
教学要求：本章的内容主要是电路基本定理，在教学过程中，要在讲清这些内容的基础上，着重培养学生的分析能力、运算能力以及运算技巧。特别要注意各定理的应用场合以及与第3章介绍的电路系统分析法的解题对比，以加深对电路的理解。
4.1 齐次定理
齐次定理是线性电路的一个基本定理，其内容可描述为：在线性电路中，当所有独立电源都增大或减小k（k为常数）倍时，其输出响应（即电路某支路的电压或电流）也同样增大或减小k倍。
例如对于图4.1所示电路，可用节点电压法求出输出电压u为
R2R1R2u?us?is
R1?R2R1?R2(4?1)R1usisuR2从（4-1）式可知，输出电压u与独立电源us和is之间是线性组合关系，当独立电源us和is都增大（减小）为原来的k倍时，其输出电压u也将增大（减小）为原来的k倍。证明如下：
设
图4.1 齐次定理
?u?s?kus，is?kis
由（4-1）式得
(4?2)u??R2R1R2kR2kR1R2?u??i?u?issssR1?R2R1?R2R1?R2R1?R2?R2?R1R2?k?u?i?R?RsR?Rs???ku212?1?证毕。
(4?3)由上述证明过程可以看出，如果各独立电源增大（减小）的倍数不一致，则齐次定理不成立。另外，当电路只有一个独立电源时，电路的输出响应与独立电源之间是正比关系，
1
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此时齐次定理一定成立。
齐次定理的表述中没有涉及到受控电源的作用。因为四种受控电源均为线性受控电源，所以不影响电路的线性特性，齐次定理仍然成立。另外，齐次定理只适用于电路输出变量为电压或电流的情形，当电路输出变量为功率时，齐次定理不成立，因为功率与各独立电源之间的关系不是线性组合的关系，而是非线性关系（二次关系）。
齐次定理特别适用于T型电路的求解。
例4.1 如图4.2所示T型电路，若us?13V，求电流i5和电压ubd。 2?bi32?cdai12???
i5i2i4
us2?2?2?
e??
图4.2 例4.1图
解题思路：T型电路只有一个独立电源，依据齐次定理，其电路响应必然与激励成正比关系。当T型电路的结构和参数确定后，其对应的比例系数也是确定的常数。可采用“倒推法”求出某响应对应的激励值，即可方便地求出比例系数，再用求得的比例表达式求出给定激励下的电路输出响应。
解：根据齐次定理，电流i5和电压ubd均与唯一的电压源us成正比，即
?i5?k1us ?u?ku2s?bd其中k1和k2为待定常数。
??1A，则 根据反推法，为便于计算，设i5??(2?2)?i5??4V?uce??uce?i??2A?42???i4??i5??3A?i3???2i3??uce??10V?ube ??ube???5A?i22???i2??i3??8A?i1?u??2i??u??26V1be?s??2i3??2i5??8V??ubd由此可得
?i5?1k??1?26u??s ??u?k2?bd?8?42613?u?s?2
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由齐次定理可知，当us?13V时，有
?1?i5?k1us?26?13?0.5V ??ubd?k2us?4?13?4V13?4.2 叠加定理
叠加定理描述了线性电路的可加性或叠加性，其内容可描述为：在线性电路中，多个独立电源共同作用时产生的电路响应等于各独立电源单独作用时所产生的电路响应之和。
在上述叠加定理的描述中，某个独立电源单独作用的含义是指除该独立电源外，所有其它的独立电源均需“置零”，即独立电压源短路，独立电流源开路。
例如对于图4.3所示电路，可用节点电压法求出其输出电压u为
u?R3RRus?13is
R1?R3R1?R3(4?4)R1us现在来分析（4-4）式所表达的内在含义。其中的第一项仅与电压源有关，该项结果正好是电流源开路时仅由电压源单独作用产生的输出电压；而第二项仅与电流源有关，该项结果正好是电压源短路时仅由电流源单独作用产生的输出电压。也就是说，
图4.4 电压源单独作用时的响应
R3uR2is图4.3 叠加定理
图4.3所示电路的响应（即电压u）可以分解为图4.4和图4.5两个电路的响应之和：
R1usR3u(1)R2R1R3u(2)R2is图4.5 电流源单独作用时的响应
由图4.4可得
u(1)?由图4.5可得
R3u
R1?R3s(4?5)u(2)?由叠加定理得
R1R3i
R1?R3s(4?6)3
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u?u(1)?u(2)?R3RRus?13is
R1?R3R1?R3(4?7)叠加定理是线性电路的重要定理，在电路分析中有着广泛应用。在应用叠加定理求解电路响应时，其基本思路是将相对复杂的电路求解分解为多个相对简单的电路求解，这种“分解—叠加”的求解方法往往可以简化计算，但有时反而会使求解过程更加繁琐，需要具体情况具体分析，以做到灵活应用。
叠加定理的使用是有范围的，在以下两种场合中叠加定理不适用： 1．非线性电路响应的求解； 2．功率的计算。
第一种情况很容易理解，因为叠加定理只适用于线性电路，当然就不能用于非线性电路的响应求解；对于第二种情况，因为功率等于电压和电流这两个变量的乘积，功率与电压和电流之间已经不是一种线性关系，所以不能用叠加定理进行功率的计算。
本教材只涉及到线性电路的分析，所以只需注意第二种情况即可。 在用叠加定理求解线性电路时，还需要注意以下几点：
1．电路的分解只针对独立电源进行，电阻和受控电源均要保留在各分解电路中； 2．在各分解电路中，被置零（即不作用）的电压源应短路，被置零的电流源应开路； 3．各分解电路中的电压极性和电流流向应与原电路中的一样，否则会出错。 4．在具有3个以上独立电源的线性电路中，既可以按每个独立电源单独作用进行电路的分解，也可以将其中的某些独立电源视为一组（即同时作用或同时不作用）进行电路的分解。
例4.2 如图4.6所示电路，用叠加定理求电流I1及I2。
图4.6 例4.2图及其分解图
9?I118?I23?6A9?I1(1)I(1)23?9?I1(2)I2(2)3?6A18?54V18?54V解题思路：由该题的电路结构可知，用节点电压法或网孔电流法求解是很方便的。本题要求用叠加定理进行求解，电路中只有两个独立电源，所以只需画出其两个分解电路，然后分别进行求解，最后将两个分解电路的结果相加即可。 解：由图4.6中的第1个分解图可解得
(1)(1)I1?I2?5454??2A 9?1827由图4.6中的第2个分解图可解得
I1(2)??18?6??4A 9?184
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I2由叠加定理得
(2)?9?6?2A 9?18(2)I1?I1(1)?I1?2?4??2A ?2?2?4A
I2?I2(1)?I2(2)例4.3 如图4.7所示电路，用叠加定理求电压U。
2A2?2?20V4?2?U图4.7 例4.3图
解题思路：同上题一样，电路中只有两个独立电源，所以只需画出其两个分解电路，然后分别进行求解，最后将两个分解电路的结果相加即可。 解：图4.7所示电路的两个分解电路如图4.8所示
2A2?2?图4.8 图4.7所示电路的分解电路
4?2?U(1)4?2?2?20V2?U(2)对于第1个分解电路，将其等效变换为如图4.9所示电路
2A2?2?图4.9 第1个分解电路的等效变换
2?4?2?U(1)2V2?U(1)由图4.9可得
U(1)?2?2?1V 2?2对于第2个分解电路，将其等效变换为如图4.10所示电路 由图4.10可得
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