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第2章 刚体姿态运动学与动力学基础
在考虑描述航天器的指向之前要明确几个基本概念：向量和参考系。4向量可以用其对参考坐标系的三个方向余弦来描述。为了描述刚体在空间的指向可以用固定在刚体上的坐标系相对于某个参数系的指向来描述。如果我们假设航天器、飞轮、天线或太阳列阵为刚体，用固连其上的坐标系Fb 、Fw 、Fa等相对某个参考坐标系的相对关系就可以描述其在空间的指向了。
2.1 参考坐标系和转动
2.1.1 参考坐标系
??????ee三个汇交于O点的正交单位矢量e、、它们组成的右手正交参123称为基矢量。
考系Fa称为基，O为基点。同一基的基矢量之间满足一下正交条件：5
ei?ej?δijei?ej?εijkek?i,j?1,2,3? ?i,j,k?1,2,3?
(1) (2)
其中?pq为克罗尼克（Kronecker）符号，?pqr为里奇（Ricci）符号，
?pq（p?q）?1 ??（p?q）?0
?pqr（p,q,r按1,2,3顺序循环置换）?1 ????1 （p,q,r按3,2,1逆序循环置换）?0 有重复标号）?（p,q,r中
??基矢量ep(p=1,2,3)排成的列阵称为基矢量列阵。
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Andrews,G.C.,Kesavan,H.K., The Vector Network Model:a New Approach to Vector Dynamics, J.维滕伯格，（谢传锋译），《多刚体系统动力学》，北京航空学院出版社，（1986）
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Mechanism and Mach, Th.10 (1975)57-75
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??e???e1e2?3? e?T(3)
任意矢量a在坐标系Fa的指向可以用其方向余弦和其长度a来表示：
??ce??a?ac1e122?c3e3
??(4)
?a?ei式中ci?cos?i?，如果定义ai?aci(i?1,2,3)，则
a
?1?a2e?2?a3e?3 a?a1e(5)
?可称ai是a在Fa中的分量。定义矩阵
?1??e?a1???；F??e?a??aa?2? ?2????e??a3???3? (6)
?注意a是a在Fa中的分量阵，而Fa中的各元素为Fa的单位矢量。由于
????1?e?eij???0i?ji?j
所以可以写成
或
??a?a?Fa?Fa?a
?1?a2e?2?a3e?3 a?aTFa?FaTa?a1e(7)
2.1.2 方向余弦矩阵的定义
aT?a?FaT?FaT?a
(8)
??????考虑到两个坐标系Fa与Fb时，其中Fb的坐标轴的单位矢量为b1、b2、b3，那么可以写成
??ce????b1111?c12e2?c13e3???1?c22e?2?c23e?3?b2?c21e?
???ce???b?ce?ce3311322333??(9)
??????e其中cij?bi?e ，即与bjj之间的方向余弦，上式简写成 i
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Fb?AbaFa
(10)
其中Aba可简写成A??（下标可略） cij?，Aba称为Fa相对Fb的方向余弦矩阵。2.1.3 方向余弦矩阵的性质
性质1：相同基之间的方向余弦矩阵为三阶单位阵。
Aaa?E
(11)
?性质2：设a为矢量，在两个基Fa和Fb中，可分别表示为a(1)和a(2)，则有
a?1??A12a?2?
(12)
性质3：任意三个基之间的方向余弦矩阵满足以下关系：
Aab?AacAcb
(13)
此性质可扩展为：在多个基组成的基族中，任意两基之间的方向余弦矩阵等于一系列按序排列的基之间方向余弦矩阵的连乘积。
性质4：方向余弦矩阵为正交阵，其行列式为1。
AAT?E，ATA?E (14) (15)
detA??1
性质5：任意两个基之间的方向余弦矩阵有等于1的特征值，其对应的特征矢量在两个基上的坐标列阵完全相同。
2.2 姿态运动的描述
2.2.1 姿态运动的方向余弦矩阵描述
位置描述如下图所示
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图1 坐标系建立与位置描述
Ox1y1z1：固定坐标系 Cx2y2z2：与质心相连的平动系 Cx3y3z3：与质心相连的结体系
（矢量式，与坐标系无关）
R?RC?ρ
(16)
R(1)?RC(1)?ρ(1)
(17)
（投影式，与坐标系有关，要注明下标）
速度描述为
R?1??RC?1??A13ρ?3? A?A13?A12A23
(18) (19)
v?R (20) (21) (22) (23)
R?1??RC?1??Aρ?3?
v?1??R?1??RC?1??Aρ?3??Aρ?3?
v?1??vC?1??Aρ?3??vC?1??AATρ?1?
只要RC、A已知，就可求出刚体上任一点的运动。A完全反映了刚体相对质心
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运动的规律。
2.2.2 姿态运动的欧拉角描述
欧拉角的定义为
图2 欧拉角的定义
OXYZ：固定坐标系Fa（定系）。
Oxiyizi：与刚体固连的结体系（动系），下标表示第几次转动。其中，最终转成的坐标系Ox3y3z3用Fb表示。
欧拉角表示为?,?,?，各欧拉角的含义如下：
???0，2?? 进动角Precession angle
???0，?? 章动角 Nutation angle ???0，2?? 自转角 Spin angle
欧拉角的转动次序：①结体系与参考系重合；②绕Z轴转动?；③绕x1轴转动?；④绕z2轴转动? 。 6
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张光枢，刚体有限转动合成的可交换性，北京航空学院学报，4（1982），363-368
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