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能，第二项为平动与转动的耦合项。如O点与质心重合，则第二项消失，得柯尼希定理，即刚体的动能是质量集中于质心的质点动能与绕质心转动的动能的简单叠加
Τ?11mvC2?ω?JC?ω 22(47)
如O为固定点，则第一第二项均消失。 2.3.4 第二类拉格朗日方程
假设一个物理系统符合完整系统的要求，即所有n个广义坐标都互相独立，则拉格朗日方程成立：
d??T ?dt???qj??T??Qj???qj??j?1,2,...,n?
(48)
其中，T?q、q、t? 是系统动能， q??q1,q2,,qn?是广义坐标，是时间t的函数，
q??q1,q2,,qn? 是广义速度。
2.4 航天器动力学中的姿态运动方程
姿态动力学主要研究关于转动的自由度，但有时平移运动和转动运动有耦合。和
?点质量不同刚体有质量分布问题，通常用质量分布函数或密度函数σ(r)表示。我们假
定航天器为刚体，并采用矢量力学的方法来处理航天器的姿态动力学问题，即牛顿-
??????欧拉（Newton-Euler）法（基本公式为p?f，h?g）。这种方法已被现代航天器姿态动力学学者公认为是较好的方法。9 2.4.1 旋转参考坐标系
??如果旋转坐标系Fb对惯性系Fi有一角速度ω，则任一向量u对时间的导数表示为
??????u?u?ω?u
9
Roberson,R.E.; Wittenburg,J.: A Dynamical Formalism for an Arbitrary Number of Interconnected Rigid
Bodies. With Reference to the Problem of Satellite Attitude Control. 3rd IFAC Congr.1966, Proc.London(1968),46D.2-46D.9
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（?）表示相对惯性系Fi的时间导数，（?）表示相对转动坐标系Fb的时间导数。10 11 2.4.2 矢量运动方程
图5 刚体R
图5表示刚体?相对于惯性系Fi的运动，为描述其运动，可用一固连其上的O
?点的位置RO（即O相对Oi的位置），及原点在O的固连于刚体的本体坐标系Fb相对
于Fi的转动来表示。其转动方向余弦矩阵为Abi，定义同前。可以把质点系的运动方程的基本结论推广到刚体来。12 13定义刚体质量的一阶矩和二阶矩（相对O点）
J?c??r??r?dV
RR(49) (50)
??rU?rr???r?dV
2??式中，?(r)为位于r处体积元dV的质量密度函数。刚体总质量
m????r?dV
R(51)
?当刚体?代表整个航天器，一般取C为刚体的质心，这时对质心的一阶矩c?0，
??二阶矩J?I。
10111213
张光枢，多刚体系统动力学方程，北京航空学院学报，1（1986） 钟奉俄，关于自由下落猫的双刚体模型，力学学报，1（1985），72-77 钟奉俄，失重状态下人体的姿态控制，力学学报，2（1986），142-148
刘延柱，人体空中翻转体运动的动力学分析，上海交通大学学报，1（1984），75-86
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由于
p?f
hO?vO?p?gO
(52) (53)
??f和g从离散的质点系推广到连续的刚体或质量团将分别是：单位体积作用力
??????fv(r)，单位表面积作用力fs(r)，当然还要考虑作用在rj的外力fj（如来自反作用推力器的推力）。这样
f?t???fv?r,t?dV??fs?r,t?dS??fj?t?
RRj(54)
gO?t???r?fv?r,t?dV??r?fs?r,t?dS??rj?fj?t?
RRsj??gv?r,t?dV?RR?g?r,t?dS??g?t?jj (55)
?外力矩gO包括体积、表面力矩及离散的分量。
方程（52）、（53）左边的动量及绝对角动量为
p?mvO?c?ω hO?c?vO?J?ω
(56) (57)
??对于刚体模型r?0，所以刚体动能为
2.4.3 标量运动方程
T?11mvO?vO?ω?c?vO?ω?JO?ω 22(58)
上述矢量方程可以在选定的坐标系中用其分量形式写成矩阵方程，现在采用本体坐标系：
式中
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?pRORCvORCfvOrfhOrgOhOcω?gOcω???Fb???pRO (59) (60) (61) (62)
J?Fb?J?FbT p??ω?p?f
hO??ω?hO?vO?p?gO
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p?mvO?c?ω;hO?c?vO?Jω
(63) (64)
J???r2E?rrT?dm
R惯量矩阵J是常值、对称、正定阵。
刚体?可以是航天器的一部分，也可以表示整个航天器。当表示整个航天器时，设O点为系统的质心，则方程（62）、方程（63）（矩阵微分方程和矩阵代数方程）可以简化为
p??ω?p?fp?mvC；；hC??ω?hC?gC hC?Iω
(65) (66)
对于这种简单情况，将式（66）代入式（65）可以消除动量p
mvC??mω?p?f；Iω??ω?Iω?gC
(67)
这两个方程是耦合的，当解出vC(t)和ω(t)后，代入运动学方程
RC?ω?RC?vC；A??ω?A (68)
从而求出Abi和RC。如果只看式（67）是独立的，但通常外力和外力矩是位移和姿态的函数，即
f?f?RC,A,vC,ω,t?；g?gC?RC,A,vC,ω,t?
(69)
要解（67）和（68）这两个方程，就必须解12阶非线性微分方程。但当将本体坐标系Fb取在刚体的惯性主轴上时，式（67）可简化为如下的标量微分方程：
I1?1??I2?I3??2?3?g1??I2?2??I3?I1??3?1?g2? I3?3??I1?I2??2?2?g3?? (70)
2.4.4 动能及拟拉格朗日方程
如果式（58）按矢量的分量形式表达，则动能为
T?1T1mvOvO?ωTc?vO?ωTJOω 22(71)
当O点取在质心上时，动能可简化为位移动能和旋转动能：
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T?Ttrans?Trot
1TmvCvC 21Trot?ωTIω2Ttrans?(72)
当外力f?0时Ttrans为常数；当gC?0时，Trot是常数。从式（73）可导出拟拉格朗日方程（quasi-Lagrange）：
?T ?ω?c?vO?Jω?hO?T
?v?mvO?c?ω?pO考虑到式（61）和（62）有：
d??dt??T??v??ω???T?
O????v?O??fd ??T????T???dt???ω???ω???ω???v??TO???v??gO?O上式就是采用拟坐标写成的拟拉格朗日方程。
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(73)
(74)