山东大学学士学位论文
定，则
d?T2?T2??Qk?k?qkdt?q(k?1,2,3,4,5,6) ?T2?0 ?r2x?T2?0 ?r2y?T2?0 ?r2z?T2?0 ?ψ2?T21?ω2TJ2rω2? ??22??2?T21?ω2TJ2rω2? ??22??2?T2?m2r2x ?r2x?T2?m2r2y ?r2y?T2?m2r2z ?r2z?T21?ω2TJ2rω2? ??22??2?T21?ω2TJ2rω2? ??22??2?T21?ω2TJ2rω2? ??22??2因此，刚体2的第二类拉格朗日方程为
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m2r2x?f2x??m2r2y?f2y??m2r2z?f2z?1d?ω2TJ2rω2??g2??2dt?? ?2?1d?ωTJω1?ωTJω22r222r2???g2???22??2?2dt?TT?ωJω?ωJ2rω21d122r22???g2????22??2?2dt (85)
其中M铰链作用于刚体1和刚体2的力为作用力与反作用力，其大小相等方向相反，且刚体1和刚体2在连接点M?的位移和速度一致，
?rM??OM??OC1??C1?M??r1?A1rCM1????C2?M??r2?A2rC2M?OC2? ????v??OC??ω?C?M??OC??ω?C?M?111222?M???r?Aωr?r?AωrC2M?111CM222?13.2 牛顿-欧拉（Newton-Euler）法
3.2.1 坐标系的建立及基本参数的表示
图9示出?1和?2在M点联结，取?1上的O点作参考系F1的坐标原点，M点为
?F2的坐标原点，M点对O点的矢径用b表示。系统质量为m?m1?m2。其中，mj是
?j的质量。
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图9 两刚体模型
?1和?2相对参考点O及M的一阶、二阶惯性矩为
c1??rdm
?1c2??r2dm(r2?r?b) ?2J1??(r2U?rr)dm
?1 J2?(r22U?r2r2)dm??2二阶惯性矩又称为惯量张量。其中U?为单位惯量张量。
U?????i?????100?????i1????1i2i????????????3?????010?001???i2???i1i1?i2i2?i3i3??????????i3??r?r?为矢量r?的并矢积。
两个矢量a??FT?Tia和b?Fib的并矢积定义为
a?b??FTTiabFi
其中
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a??a1a2a3? ；b??b1b2Tb3?
T二阶矩（惯量张量）是对称的和正定的。
?1+?2对O点的一阶、二阶惯性矩为
可见
可定义
J12?r?b?r?U?r?b?r??dm?????2222c?c1?c2?m2b
J?J1?b?r???b?r?U??b?r??b?r??dm ?????2222(88) (89)
?2J?J1?J2?m2(b2U?bb)?(2b?c2U?bc2?c2b)
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J21??2?2b?r??rU??b?r?r?dm?????2222 (91)
??JJ我们称12、21为混合惯量矩。这种混合惯量张量的计算是求两个矢量并矢的积
???分运算，它们是分别求?2的位置矢量r2及对?1的位置矢量b?r2并矢的积分运算。
3.2.2 矢量运动方程
???定义v和ω为O点的绝对速度和?1的绝对角速度。在?1中位置r的速度为?????v?ω?r。同样ω2为?2的绝对角速度，在?2中位置r2的速度为
????????????v?ω?b?ω2?r2?v?ω?(b?r2)?ωM?r2，这里ωM为?2相对?1的相对角速度
???ωM?ω2?ω。
假设M点是万向接点，?1和?2在M点可以有任意方向的角位移。?1和?2的动量为
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p1?ω?r)dm?m1v?c1?ω
??(v?1p
2?2ωM?r2?????v?ω?(b?r)??dm2 ?m2v?(m2b?c2)?ω?c2?ωM系统总动量为
p?p1?p2?mv?c?ω?c2?ωM
?1和?2相对O点和M点的绝对角动量为
h1?ω?r)dm?c1?v?J1?ω ??r?(v?1hr2??r
2?2)?ωM?r2????v?ω?(b??dm2 ?c2?v?J21?ω?J2?ωM系统相对O点的总角动量为
h?h1?h2?b?p2?c?v?J?ω?J12?ωM
总动能为
T?12?(v?ω?r)?(v?ω?r)dm?1?12?v?ω?(b?r2)?ωM?r2???v?ω?(b?r2)?ωM?r2???????dm2 ?12mv?v?12ω?J?ω?12ωM?J2?ωM?v?c?ω?v?c2?ωM?ω?J12?ωM图10 两刚体分解图
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