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第3章 两刚体系统模型
航天器结构经常可以简化为两个刚体?1，?2，它们通过一个共同点M连接起来，并能相互运动。如某些科学实验卫星的天文望远镜要对准天体，要调整姿态，它就可以简化为?2并通过M点相对卫星本体?1转动。对地定向天线系统和太阳能电池帆板的控制也可以用这个模型表示。
3.1 拉格朗日方程法
3.1.1 初始状态
建立坐标系：首先，在地球上建立惯性坐标系Ox0y0z0，该坐标系固结在地球上，固定不动。然后，初始状态下在刚体1的质点C1上建立平移坐标系C1x1y1z1，以及固连于刚体的旋转坐标系C1xc1yc1zc1，此时平移坐标系C1x1y1z1与旋转坐标系C1xc1yc1zc1重合。同样的，在刚体1的质点C2上建立平移坐标系C2x2y2z2，以及固连于刚体的旋转坐标系C2xc2yc2zc2，此时平移坐标系C2x2y2z2亦与旋转坐标系C2xc2yc2zc2重合。(如图6所示)
图6 两刚体初始状态
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记录初始状态坐标：对于上述问题，我们已知初始状态下刚体1的质心矢径，记为OC1，刚体1和刚体2的转动惯量，分别为J1r和J2r，以及两个刚体的质心分别与铰接点之间的矢径，C1M和MC2。由图6可得到如下矢量关系，记
rC1?OC1
rC1M?C1M
rC2M?C2M
rM?OM?OC1?C1M?OC2?C2M?rC1?rC1M?rC2?rC2M
rC2?OC2?OC1?C1M?C2M?rC1?rC1M?rC2M3.1.2 转动后模型状态
建立坐标系：刚体1运动后,其质心有初始时的C1平移到C1’，刚体1绕质心C1旋转的三个欧拉角为?1,?1,?1，刚体2运动后,其质心有初始时的C2平移到C2’，刚体2绕质心C2旋转的三个欧拉角为?2,?2,?2。运动后的刚体形态及坐标系改变如图7所示。
图7 两刚体转动后状态
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运动后状态坐标：转动后刚体1的质心矢径记为OC1?；转动后刚体2的质心矢径
?。由图7可得到如下矢量关系，记 记为OC2? r1?OC1? r2?OC2坐标系矩阵变换：由前文中姿态运动的矢量矩阵描述可以得到平移坐标系C1x1y1z1与旋转坐标系C1xc1yc1zc1之间发生欧拉角转变的转换矩阵A1，
?c?1c?1?s?1c?1s?1 A1???c?1c?1?c?1c?1s?1?s?1s?1??c?1s?1?s?1c?1c?1?s?1s?1?c?1c?1c?1s?1c?1s?1s?1??c?1s?1?? c?1?? (75)
以及转动的角速度ω1，
?s?1s?1ω1?L1q1???s?1c?1??c?1c?1?s?100???1???? 0???1?1?????1??(76)
同理得到平移坐标系C2x2y2z2与旋转坐标系C2xc2yc2zc2 之间发生欧拉角转变的转换矩阵A2，
?c?2c?2?s?2c?2s?2A2???c?2c?2?c?2c?2s?2?s?2s?2??c?2s?2?s?2c?2c?2?s?2s?2?c?2c?2c?2s?2c?2s?2s?2??c?2s?2?? c?2??(77)
以及转动的角速度ω2，
?sθ2s?2ω2?L2q2???sθ2c?1??cθ2c?2?s?200???2???? 0???2?1?????2??(78)
由以上关系可得，
rC1?M??C1?M??A1C1M?A1rC1M
?M??A2C2M?A2rC2M rC2?M??C2rM??OM??OC1??C1?M??r1?A1rC1M??C2?M??r2?A2rC2M?OC2
??OC1??C1?M?C2?M?r2?OC2?r1?A1rC1M?A2rC2M
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3.1.3 动力学计算
图8 两刚体分解图
系统动量为
p?p1?p2?m1v1?m2v2
其中
v1?r1
v2?r2
约束条件为刚体1和刚体2在连接点M?的位移和速度一致，
?rM??OM??OC1??C1?M??r1?A1rC1M?????OC?2?C2M?r2?A2rC2M? ????v??OC??ω?C?M??OC??ω?C?M?111222?M???r?Aωr?r?Aω?111C1M222rC2M?带入得
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