? ? ? ? ? ? ? 第一章 绪论
第二章 波函数和薛定谔方程 第三章 力学量的算符表示 第四章 态和力学量的表象 第五章 微扰理论 第六章 弹性散射
第七章 自旋和全同粒子
?301.1．由黑体辐射公式导出维恩位移定律：?mT?b, b?2.9?10m?C。
证明：由普朗克黑体辐射公式：
8?h?31 ??d??d?， h?3c ekT?1c c及?? 、d???2d?得 ?? 8?hc1?? ?5， hc?e?kT?1
d?hc令x? ，再由??0，得?.所满足的超越方程为 ?d? kTxex 5?x e?1
hc x?4.97，即得用图解法求得?4.97，将数据代入求得?mT?b, b?2.9?10?3m?0C ?mkT
1.2．在0K附近，钠的价电子能量约为3eV,求de Broglie波长. 0hh?10解：? ???7.09?10m?7.09A p2mE
# 3E?kT，求T?1K时氦原子的de Broglie波长。 1.3. 氦原子的动能为 2 h0hh?10??12.63?10m?12.63A 解：? ??p2mE3mkT ?23?1其中m?4.003?1.66?10?27kg，k?1.38?10J?K
# 1.4利用玻尔—索末菲量子化条件，求： （1）一维谐振子的能量。 （2）在均匀磁场中作圆周运动的电子的轨道半径。
绪论 第一章B?10T，玻尔磁子?B?0.923?10?23J?T?1，求动能的量子化间隔?E，并与T?4K及 已知外磁场T?100K 的热运动能量相比较。 p21解：（1）方法1：谐振子的能量E????2q2 2?2
p2q2可以化为??1 22
?2E?2?E? ????2???
2E
的平面运动，轨道为椭圆，两半轴分别为a?2?E,b?，相空间面积为 2 ?? 2?EEpdq??ab???nh,n?0,1,2,? ?? E?nh?,n?0,1,2,? 所以，能量 方法2：一维谐振子的运动方程为q????2q?0，其解为
q?Asin??t???
速度为 q??A?cos??t???，动量为p??q??A??cos??t???，则相积分为
2222TTA??A??T222pdq? A??cos??t???dt?(1?cos??t???)dt??nh，n?0,1,2,? 0022
22A??nh E???nh?，n?0,1,2,? 2T 2?v?v evB?（2）设磁场垂直于电子运动方向，受洛仑兹力作用作匀速圆周运动。由，得R? eBR
?2 pdq?nh,n?1,2,3,?，以?,p???Rv??R??eBR2分别表示广义坐标和相应再由量子化条件 的广义动量，所以相积分为 2?n?2n?1,2,?，，由此得半径为，n?1,2,?。 p?d??pd??2??Rv?2?eBR?nhR? ?0eB 2??11eBR122n? ?E??v2????eB?n?BB 电子的动能为???222?eB??
动能间隔为?E??BB?9?10?23J E?kT，所以当T?4K时，E?4.52?10?23J；当热运动能量（因是平面运动，两个自由度）为T?100K 时，E?1.38?10?21J。
1.5 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两个光子的能量相等，问要实现这种转化，光子
波长最大是多少？
ch 解：转化条件为，即有 h???ec2，其中?e为电子的静止质量，而??，所以????ec
0 h6.626?10?34?max???c??0.024A（电子的康普顿波长）。 ?318 ?c9.1?10?3?10e
?????????
第二章 波函数和薛定谔方程
2.1.证明在定态中，几率流与时间无关。 证：对于定态，可令 ???( r，t)??(r)f(t)
i?Et?
??(r)e?
?i? J?(???*??*??)2m
iiii ?Et?Et???Et???Et*??i? ?[?(r)e?（?(r)e）??*(r)e??（?(r)e?）]
2m
??i?*?*? ?[?(r)??(r)??(r)??(r)]2m ? 可见 J与t无关。
2.2 由下列定态波函数计算几率流密度：
1ikr1?ikr (1)??e (2)??e 12rr
从所得结果说明?1表示向外传播的球面波，?2表示向内(即向原点) 传播的球面波。 ??
解：J1和J2只有r分量
???1??1? 在球坐标中 ??r0 ?e??e??rr??rsin???
i?** ?(1) J1?(?1??1??1??1) 2m i?1ikr?1?ikr1?ikr?1ikr? ?[e(e)?e(e)]r0
2mr?rrr?rr
i?111111? ?[(?2?ik)?(?2?ik)]r02mrrrrrr
?k??k? ?r?r203
mrmr? ? J1与r同向。表示向外传播的球面波。 ?i?** J?(2) (?????2222??)2m
i?1?ikr?1ikr1ikr?1?ikr? (e)?e(e)]r0 ? [e2mr?rrr?rr
? ?i?[1(?1?ik1)?1(?1?ik1)]r 02mrr2rrr2r
?k??k? ??r??r 203?? 可见，J2与r反向。表示向内(即向原点) 传播的球面波。 mrmr补充：设?(x)?eikx，粒子的位置几率分布如何？这个波函数能否归一化？
?*?dx?dx?? ???
2 ∴波函数不能按?(x)dx?1方式归一化。
? 其相对位置几率分布函数为 2
????1表示粒子在空间各处出现的几率相同。
2.3 一粒子在一维势场
??，x?0 ? 0?x?a U(x)??0，
??，x?a?
中运动，求粒子的能级和对应的波函数。 解： U(x)与t无关，是定态问题。其定态S—方程 ?2d2?(x)?U(x)?(x)?E?(x) ?2 2mdx 在各区域的具体形式为
?2d2 ??1(x)?U(x)?1(x)?E?1(x) ① Ⅰ：x?0 2mdx2 ?2d2?2(x)?E?2(x) ② Ⅱ： 0?x?a ? 2mdx2 22?d x?a ??3(x)?U(x)?3(x)?E?3(x) ③ Ⅲ：22mdx
由于(1)、(3)方程中，由于U(x)??，要等式成立，必须 ?1(x)?0 ?2(x)?0 即粒子不能运动到势阱以外的地方去。
d2?2(x)2mE ?2?2(x)?0 方程(2)可变为2dx?
令k2?2mE，得 ?2
d2?2(x)
?k2?2(x)?0 2 dx 其解为 ?2(x)?Asinkx?Bcoskx ④ 根据波函数的标准条件确定系数A，B，由连续性条件，得
?2(0)??1(0) ⑤ ???
?2(a)??3(a) ⑥ ⑤ ?B?0 ?A?0 ⑥ ?Asinka?0 ?sinka?0?ka?n? (n?1, 2, 3,?)
n? x ∴?2(x)?Asina 由归一化条件 2 ?(x)dx?1 ? a22n??得 A?sin0axdx?1 由 ?absinm?n?ax?sinxdx??mn aa2?A? 2a2n?sinxaa
2mE2 ?k ? 2?
?2?22 n (n?1,2,3,?)可见E是量子化的。 ?En?22ma
对应于E n的归一化的定态波函数为 i?2 n???Entsinxe, 0?x?a? ?n(x ,t)??aa? 0, x?a, x?a?1
2.4. 证明（2.6-14）式中的归一化常数是A?? a n???Asin(x?a), x?a? 证：?n?? a? 0, x?a? 由归一化，得 an?21??ndx?A?2sin2(x?a)dx??a a a1n??A?2[1?cos(x?a)]dx?a2 aa
A?2A?2an?x?cos(x?a)dx ? 2?a2?aa
a2 ?A?2a?A??asinn?(x?a)2n?a ?a ?A?2a1
∴归一化常数A?? a2.5 求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置。
1??2x2?
解：?(x)? ?2?xe2 2? 22?2?1(x)??1(x)?4?2??x2e??x 2? 2?3222??x ??xe
?
22d?1(x)2?3 ?[2x?2?2x3]e??x ?? 2(x)?????dx?
d?1(x)1x?? x??? ? 令 0，得 x?0 ?dx
x???时，?1(x)?0。显然不是最大几率的位置。 由?1(x)的表达式可知，x?0 ，d2?1(x)2?322223??2x2 而 ?[(2?6?x)?2?x(2x?2?x)]edx2 ? 3224??[(1 ?5?2x2?2?4x4)]e??x
?d2?1(x)4?311? ??2?0 ， 可见是所求几率最大的位置。 x????2edx1????x??2 #