?和L?的矩阵分别为 ?2和L?的共同表象中，算符L L4.5 设已知在Zxy
?0?i0??010??? 2???? Lx??i0?i? ?101? Ly? 22??0i?0????010?
求它们的本征值和归一化的本征函数。最后将矩阵Lx和Ly对角化。
x的久期方程为 解：L ??? 02 ?? ???0???3??2??0
22 ?0 ??2
1?0，?2??，?3??? ?? ?的本征值为0，?，?? ∴Lx ? Lx的本征方程
?a1?? 010??a1???????? ? 101??a2????a2? 2? ?a?????010??a3??3?
?a1? ???2和L?共同表象中的矩阵 ?的本征函数L 其中???a2?设为LZx
?? ?a3? 当?1? 0时，有 10??a1??0??0???????
101 ???a2???0? 2? ??????010??a3??0? ?a??0?2 ?????a?a，a2?0 ? 13???0? ?a3??a12???0? 2?a??? ?a?1??
∴ ?0??0? ??a1???
由归一化条件
?a1? ??2?**??(a,0,?a)0 1??0??2a1 011???a? ?1? 1 取 a1 ? 2
?1????2??的本征值0 。 ?对应于L ?0??0x? ???1? ??2??
当?2? ?时，有 ?a1? ?010??a1???????? ?101??a2????a2? 2?a???? ??010??a3??3?
? 2a?2 ??a??a2?2a1??1??1 ?(a1?a3)???a2???a2?2a3 2 ????a?a1??a3???31
a2? 2? ?a?1??
∴ ????2a1? ??a1?? ?? 由归一化条件
???? ?????1 ?a1???2*** 1?(a1,2a1,a1)?2a1??4a1 ??a1??1 取 a1 ? ??2 ?1???
?2??1?
?的本征值? ∴归一化的?????对应于Lx ?2??1?
???2?
当? 2???时，有 010??a1??a1? ???????? ?101??a2?????a2? 2??a?????3? ?010??a3??1?? a1?? 2???a??a2??2a11?1????? (a1?a3)????a2???a2??2a3 ?? 2????a?a1?1???a3???3 ??a2??? 2??a1? ?? ∴ ? ?????2a1? ???a1? ?? 由归一化条件
?a1? ??2*** 1?(a1,?2a1,a1)??2a1??4a1 ???a1???1 取 a1? 2?1????2??1? ?的本征值?? ∴归一化的???????对应于Lx2 ???1? ??2??
?表象的变换矩阵为 ?2和L?的共同表象变到L 由以上结果可知，从LZx 111? ???22? ?2?11?? S? ?0? 22? ?11???1? ?22?2?? ∴对角化的矩阵为L?x?SLxS ?1?11?1???0? 22??010??2?2?? ??111??11010? L???x??2??2 2?22????010??11?1??1 ?1??2?2?222?? ???111? ?????222????000
??11??11?10? ? ???? 2?22??22? 1??111???11???? ?22?22??2??
0??000?? 00????? ?20???0?0? ? 02????? 00?2??00??? 按照与上同样的方法可得
?的本征值为0，?，?? L y ?的归一化的本征函数为 L y
?1??1? ?1???????22???? ?2??i??i??? ??0 0 ????? ??????? ??22???? ?1??1??1? ?2?????????22????
?2和?的共同表象变到L?表象的变换矩阵为 从L LZy????? 2?1?2??121 ?1?111???? 222???2 ?ii??1?S?0??S? ??2 ?22??? ?111??1???2 ?22??2?? ?利用S可使Ly对角化 0?ii221??2?1??? 2?1???2??000???? L??0? y?SLyS??0?00?????4.6. 求连续性方程的矩阵表示 解：连续性方程为 ???????J ?t ?i?(???*??*??) ∴ J?2? ?i??J???(???*??*??) 而 ?
2?
i?(??2?*??*?2?) ?2?
1??*??*T??) ?(?T i?
??????T??*) i??(?*T ∴ ?t *?(??)????T??*) i??(?*T ?t
写成矩阵形式为 ?????T???i? (???)???T?t ????(??T??)*?T?T*?0i? (???)???T? t第五章 微扰理论
5.1 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为r0、电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态 能量的一级修正。 解：这种分布只对r?r0的区域有影响，对r?r0的区域无影响。据题意知 ???U(r)?U(r) H0
其中U0(r)是不考虑这种效应的势能分布，即
2ze U（ r） ??4??0r
U(r)为考虑这种效应后的势能分布，在r?r0区域， Ze2 U(r )??4??r 0
在r?r0区域，U(r)可由下式得出， ? U(r) ??eEdr rZe43Ze? 1???r?r, (r?r0)233? 434??r?r4??r?00003 E??
Ze? (r?r0) 2?4??0r? r0? U(r)??eEdr?eEdr rr0 Ze2r0Ze2?1 ??rdr?dr 32???4??0r0?r4??0?r0rZe2Ze2Ze222 ??(r0?r)???(3r02?r2) (r?r0) 334??0r08??0r08??0r0 ?Ze2Ze222(3r0?r)? (r?r0)??3?H??U(r)?U0(r)??8??0r04??0r ? 0 (r?r0)?
????H?(0)????2?U(r)，可视为一种微扰，由它引起的一级修正为（基态 由于r0很小，所以H02?
Z?r Z3a0(0)1/2?1?( 3)e） ?a0 (1)(0)*???1(0)d? E1???1H ?2Z 2?rZ3r0Ze2Zea022[?(3r0?r)?]e4?r2dr ?3?34??0r?a008??0r0 2Z?ra0 ∴r??a0，故e?1。 r0Z4e2Z4e2r0(1)224 ∴ E1 ??(3r0r?r)dr?rdr 330302??0a0r0??0a0
r05Z4e2Z4e225 ?? (r0?)?r 333052??0a0r02??0a0
Z4e2 ?r2 30 10??0a042 2Zes2 ?r0 3 5a0?? 5.2 转动惯量为I、电偶极矩为D的空间转子处在均匀电场在?中，如果电场较小，用微扰法求转子基态 能量的二级修正。 ? 解：取 ?的正方向为Z轴正方向建立坐标系，则转子的哈米顿算符为 ?2??12 L???D?cos? H??D???L 2I2I? (0)?1L?2, ????D?cos?，则 H 取H 2I?(0)?H?? ??H H ??视为微扰，用微扰法求得此问题。 H由于电场较小，又把 (0)?的本征值为E(())?1?(??1)?2 H? 2I(0) 本征函数为 ???Y?m(?,?) 0）?(0)的基态能量为 HE（?0，为非简并情况。根据定态非简并微扰论可知 0
2?H (2)?0 ?(0) E0? (0) E0?E??*(0)?(0) ?0???H??0d??Y?* H?m(?D?cos?)Y00sin? d? d?
*??D?Y ?m(cos? Y00)sin? d? d? 4?1 ??D?Y?* Ysin? d? d? m10 34? D?*??Y ?0 Y10sin? d? d?
3
D???1 ??2????????3 E(2)0?? '?H??02(0)E0?E?(0)????'D2?2?2I ??13?(??1)?22??1D2?2I 23?