2.6 在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：U(?x)?U(x)，证明粒子的定态波函数具有确定的宇 称。
证：在一维势场中运动的粒子的定态S-方程为
? 2d2 ??(x)?U(x)?(x)?E?(x) ① 2 ?dx2 ?2d2 将式中的x以(?x)代换，得 ??(?x)?U(?x)?(?x)?E?(?x) ② 2?dx2
?2d2利用U?(?x)?U(x)?(?x)?E?(?x) ③ (?x)?U(x)，得 ?2?dx2
比较①、③式可知，?(?x)和?(x)都是描写在同一势场作用下的粒子状态的波函数。由于它们描写
的是同一个状态，因此?(?x)和?(x)之间只能相差一个常数c。方程①、③可相互进行空间反演
(x?? x)而得其对方，由①经x??x反演，可得③， ?(?x)?c?(x) ④ ? 由③再经 ?x?x反演，可得①，反演步骤与上完全相同，即是完全等价的。 ?(x)?c?(?x) ⑤ ?
④乘 ⑤，得 ?(x)?(?x)?c2?(x)?(?x)， 可见，c2?1，所以 c??1
?(?x)??(x)，??(x)具有偶宇称， 当c? ?1时， ?(?x)???(x)，??(x)具有奇宇称， 当c? ?1时， U(?x)?U(x)时，粒子的定态波函数具有确定的宇称。 当势场满足
2.7 一粒子在一维势阱中
??U0?0, x?a U(x )?? x?a?? 0,
运动，求束缚态(0?E?U0)的能级所满足的方程。
解：粒子所满足的S-方程为
?2 d2 ??(x)?U(x)?(x)?E?(x) 2? dx2(x)的形式分区域的具体形式为 按势能U ?2 d2 Ⅰ：??(x)?U0?1(x)?E?1(x) ???x?a ① dx212??2 d2 Ⅱ：? ?2(x)?E?2(x) ?a?x?a ② 2?dx2 ?2d2 Ⅲ：? ?3(x)?U0?3(x)?E?3(x) a?x?? ③ 22?dx
整理后，得
Ⅰ： ?1???2?(U0?E)2?1?0 ④
? Ⅱ： . ??2? 2??E?2?2?0 ⑤
Ⅲ： ??3??2?(U0?E)?3?0 ⑥
?2 令 k22?(U0?E)1??2 k22?2?E?2 则 Ⅰ：
???k2 Ⅱ： ?11?1?0 ⑦
. ??22??k2?2?0 ⑧ Ⅲ：
??3??k21?1?0 ⑨ 各方程的解为
??kx?Bek1x1 ?Ae1 ? 2?Csink2x?Dcosk2x ? ?k3 ?Ee1x?Fe?k1x
由波函数的有限性，有
? 1(??)有限 ?A?0? 有限 ?E?0 3(?)因此
?1 ?Bek1x? ?Fe?k 1x3 由波函数的连续性，有
?
1
(?a)??2(?a),?Be?k1a??Csink2a?Dcosk2a ?1? (?a)???2(?a),?kk1Be?1a?k2Ccosk2a?k2Dsink2a ?(a)???k2a?Dcosk2a?Fe1a2 3(a),?Csink ?? (a)??3?(a),?k2Ccosk2a?k2Dsink?k22a??k1Fe1a 整理 (10)、(11)、(12)、(13)式，并合并成方程组，得 ?k1a eB?sink2aC?cosk2aD?0?0 k1e?k1aB?k2cosk2aC?k2sink2a D?0?0 0?sink?cosk?ka0 2aC2aD?e1F? 0?kcoskaC?ksinkaD?ke?k 222211aF?0
(10)(11)(12)(13) 解此方程即可得出B、C、D、F，进而得出波函数的具体形式，要方程组有非零解，必须 ?0 ?k1a 0sink2acosk2ae 0k2cosk2a?k2sink2ak1Be?k1a
?k2cosk2a?k2sink2a0 ?k1a0?esink2acosk2a?e?k1a?
k2cosk2a?k2sink2ak1e?k1a sink2a?cosk2a0 ?k1e?k1asink2acosk2a?e?k1a? ?k1akcoska?ksinkake22221
ka?ka22?ka ?e? 1[?k1k2e1cosk2a?k2e1sink2acosk2a??k1a ? k1k2e?k1asin2k2a?k2sink2acosk2a]?2e
?k1e?k1a[k1e?k1asink2acosk2a?k2e?k1acos2k2a?
? k1e?k1asink2acosk2a?k2e?k1asin2k2a]2 2k1a[?2k1k2cos2k2a?k2 ?e?2sin2k2a?k1sin2k2a] 2 ?e?2k1a[(k22?k1)sin2k2a?2k1k2cos2k2a] ?2ka ∵ e1?0 22 ∴(k2?k1)sin2k2a?2k1k2cos2k2a?0 22 即 (k2?k1)tg2k2a?2k1k2?0为所求束缚态能级所满足的方程。
方法二：接（13）式
k2kCcosk2a?2Dsink2a ?Csink2a?Dcosk2a? 11
kk Csinka?Dcoska??2Ccoska?2Dsinka 2222 kk11
k2 k2cosk2a?sink2asink2a?cosk2a k1k1?0k2 k2cosk2a?sink2a?(sink2a?cosk2a) k1k1 k2k2?(coska?sinka)(sink2a?cosk2a) 22k1k1
kk ?(2cosk2a?sink2a)(2sink2a?cosk2a)?0k1k1
k2k2 (coska?sinka)(sink2a?cosk2a)?0 22k1k1
k2k2k2222 sinkacoska?sinka?cosk2a?sink2acosk2a?0222 2k1k1k1 2k2k (?1? 2)sin2k2a? 2cos2k2a?0k1k12
2 (k2?k12)sin2k2a? 2k1k2cos2k2a?0e?k1ak1 e?k1asink2a?cosk2a?k2cosk2a?k2sink2a00kk另一解法： ?ka(11)-(13)?2k2Dsink2a?k1e1(B?F)
?k1a(10)+(12)?2Dcoska?e(B?F) 2
(11)?(13) ?k2tgk2a?k1 (a) (10)?(12) (11)+(13)?2k2Ccosk2a??k1(F?B)e?ik1a (12)-(10)?2Csink2a?(F?B)e?ik1a 11( ) ? (13 ) ? k 2 ctgk 2 a ? ? k 1 （b） (12 ) ? (10 )
令 ??k2a，??k2a， 则
? tg??? (c) 或? ctg???? (d)
2?U0a2 2222????(k1?k2)? (f) ?2(a)、(b)： 合并 2kk2tgk2atg2k2a?2122 利用tg2k2a? k2?k11?tg2k2a
2-7一粒子在一维势阱
?U0?0,x?aU(x)??
?0,x?a
中运动，求束缚态(0?E?U0)的能级所满足的方程。
解：（最简方法-平移坐标轴法）
?2???U0?1?E?1 （χ≤0） Ⅰ： ??1 2??2 ???E?2 （0＜χ＜2a） Ⅱ：??2 2? ?2 Ⅲ：?????U0?3?E?3 （χ≥2a） 2?3 2?(U0?E)??????1?0 1?2??
2?E??????2?0 ?? 22??
?2?(U0?E)?? ???3?0?32??
22???k 1??1?1?0 (1) k1?2?(U0?E)?2?2 2???k束缚态0＜E＜U0 (2) k2??22?2?0 2?2?E???? 2(3)1?3?0 ??3?k
?1?Ae?kx?Be?kx ?2?Csink2x?Dcosk2x 11 ?3?Ee?k1x?Fe?k1x ?1(??)有限 ?B?0
?3(?)有限 ?E?0 因此
??1?Aek1x ?k1x?3?Fe 由波函数的连续性，有
?1(0)??2(0),?A?D (4)
?(0),?k1A?k2C ?1?(0)??2 (5)
?2k1a ???2(2a)??3(2a),?k2Ccos2k2a?k2Dsin2k2a??k1Fe (6)
?2(2a)??3(2a),?Csin2k2a?Dcos2k2a?Fe?2k1a (7)
(7)代入(6) Csin2ka?Dcos2ka??k2Ccos2ka?k2Dsin2ka 2222kk11
利用 (4)、(5)，得 k1k
Asin2k2a?Acos2k2a??Acos2k2a?2Dsin2k2a k2k1 kkA [(1?2)sin2k2a?2cos2k2a]?0k2k1
?A?0
kk? (1?2)sin2k2a?2cos2k2a?0 k2k1两边乘上(?k1k2)即得 2(k 2?k12)sin2k2a?2k1k2cos2k2a?0
2.8分子间的范德瓦耳斯力所产生的势能可以近似表示为
x?0 ， ??, ?U, 0?x?a，?0 U( x)?? ??U1, a?x?b， ?b?x ，?0,
求束缚态的能级所满足的方程。
解：势能曲线如图示，分成四个区域求解。 方程为 定态S- 2?d2 ? ?(x)?U(x)?(x)?E?(x) 22?dx
对各区域的具体形式为
?2???U(x)?1?E?1 Ⅰ：?1(x?0) ?
2? ????U0?2?E?2 Ⅱ：?2(0?x?a) 2?
2??2???U1?3?E?3 Ⅲ：??3(a?x?b) 2?