证：电子的电流密度为 ??i?** J??eJ??e(?n?m??n e?m??n?m??n?m) 2?
?在球极坐标中为
??1???1? ??er ?e??e??rr??rsin??? ???式中er、e?、e?为单位矢量 ????1???i?1?* Je??eJ??e[?n?m(er?e??e?)?n?m2??rr??rsin???
????1?1? * ??n?e??e?)?n?m]?m(er ?rr??rsin??? ?ie???*?1?**??[er(?n?m?n???)?e(??n?m?mn?mn?m?n?m 2??r?rr?? ?1?1?*1?** ???)?e(?????n?m)]n?mn?m?n?mn?mn?m
r??rsin???rsin???
??n?m中的r和?部分是实数。
?ie?e?m22?2? (?im?n?m?im?n?m)e? ???n?me? ∴ Je??2?rsin??rsin?
可见，Jer?Je??0 2 J??e?m? e?n?m ?rsin?
3.4 由上题可知，氢原子中的电流可以看作是由许多圆周电流组成的。 (1) 求一圆周电流的磁矩。 (2) 证明氢原子磁矩为 ?me???2? (SI)
? M?M?? zme??? (CGS)
??2?c
原子磁矩与角动量之比为
?e ? (SI)?M?2? z?? Lz??e (CGS)? ?2?c这个比值称为回转磁比率。 解：(1) 一圆周电流的磁矩为 dM?iA?Je?dS?A （i为圆周电流，A为圆周所围面积） e?m2
?n?mdS??(rsin?)2 ?? ?rsin?
??e?m??rsin??n?mdS 2 e?m22 ???rsin??n?mdrd? (dS?rdrd?) ? 氢原子的磁矩为 (2) ??e?m2 M?dM????n?mr2sin? drd? 00? ??e?m22 ???2??n?mrsin? drd? 002? e?m2???22??? n?mrsin? drd?d? 2?000
e?m (SI) ??2?
e?m 在CGS单位制中 M??? 2?c
原子磁矩与角动量之比为
MzMMee ??? (SI) z?? (CGS) LL2?L2?czzz L23.5 一刚性转子转动惯量为I，它的能量的经典表示式是H?，L为角动量，求与此对应的量子体系 2I 在下列情况下的定态能量及波函数： (1) 转子绕一固定轴转动：
(2) 转子绕一固定点转动：
22解： (1)设该固定轴沿Z轴方向，则有 L?LZ 22 1?d2??????与t无关，属定态问题) 哈米顿算符 H, 其本征方程为 (HLZ2 2I2Id? ?2d2??(?)?E?(?)
2Id?2
????????2d?(?)2IE ???(?)22d??
2IEd2?(?) 2 令 m?2，则 ?m2?(?)?0 2 ?d?im? 取其解为 ?(?)?Ae (m可正可负可为零)
由波函数的单值性，应有 ?(??2?)??(?)?eim(??2?)?eim?
i2m?e?1, ∴m= 0，± 即 1，±2，…
m2?2 转子的定态能量为Em? (m= 0，±1，±2，…) 2I
可见能量只能取一系列分立值，构成分立谱。 定态波函数为 ?m?Aeim?, A为归一化常数，由归一化条件
2?2?* 1??m?md??A2d??A22?00 1 A??2?
?? ∴ 转子的归一化波函数为 ?m? 综上所述，除m=0外，能级是二重简并的。 1im?e 2???? L(2)取固定点为坐标原点，则转子的哈米顿算符为 H2I
1?2?与 t无关，属定态问题，其本征方程为 LY(?,?)?EY(?,?) H2I
? (式中 Y(?,?)设为H的本征函数，E为其本征值) ?2Y(?,?)?2IEY(?,?) L21?2Y(?,?)???2Y(?,?) IE???2，则有 L 令 2 ?2的本征方程，其本征值为 此即为角动量L
L2???2??(??1)?2 (??0, 1, 2, ?)
m 其波函数为球谐函数Y?m(?,?)?N?mP?(cos?)eim?
?(??1)?2
∴ 转子的定态能量为 E?? 2I(2??1)重简并的。 可见，能量是分立的，且是
3.6 设t=0时，粒子的状态为 2 ?(x)?A[sin kx?12coskx]
求此时粒子的平均动量和平均动能。
解：?(x)?A[sin2kx?1 coskx]?A[1(1?cos2kx)?1222coskx]
A ?[1?cos2kx?coskx] 2
Ai2kx?i2kxikx?ikx1 ?[1?1(e?e)?(e?e)] 222
A2??i0x1i2kx1?i2kx1ikx1?ikx1
? [e?2e?2e?2e?2e]? 22?? 2k? ?2k? k? ?k? 可见，动量pn的可能值为0 2 pn2k2?22k2?2k2?2k2?2 的可能值为0 动能2???2?2?
A2A2A2A2A2 )?2?? 对应的几率?n应为 ( 416161616
11111 ( )?A2?? 28888
上述的A为归一化常数，可由归一化条件，得
A2A2A2 1??n?(?4?)?2????2?? 4162n
∴ A?1/?? ∴ 动量 p的平均值为 ? p?
2222AAAA? 0?2k???2???2k???2???k???2???k???2???016161616
2 p2pn T???n 2?n2?
2k2?21k2?21 ?0???2???2 ?p?nnn??82?85k2?2 ? 8?
3.7 一维运动粒子的状态是
?Axe??x, 当x?0 ?(x)?? 当x?0? 0,
其中??0，求： (1)粒子动量的几率分布函数； (2)粒子的平均动量。 (1)先求归一化常数，由 解：?? 2 1??(x)dx?A2x2e?2?xdx ??0
1
A2 ?34?
3/2 ∴ A?2? ?? ? (x?0) (x)?2?xe (x)?0 (x?0) ? ??111/2?ikx3/2?(??ik)x c(p)?e?(x)dx?()?2?xe?(x)dx ????2??2?? ?2?31/2x1?(??ik)x?)[?e?e?(??ik)xdx ?(02????ik??ik??
2?31/2x2?31/21)??() ?(p22??2??(??ik)2(??i)
?
动量几率分布函数为
2?312?3?312 ?(p)?c(p)?? 22222??2p2?(???p) (??2)?
??d??x??(x)dx??i?4?3xe??x ??*(x)p(e)dx (2) p????dx ?3 ??i?4??x(1??x)e?2?xdx ??? 32?2?xdx ??i?4??(x??x)e??
11 3) ??i?4??(2? 4?4?2 ?0
3.8.在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为a，如果粒子的状态由波函数 ?( x)?Ax(a?x) 描写，A为归一化常数，求粒子的几率分布和能量的平均值。 解：由波函数 ?(x)的形式可知一维无限深势阱的分布如图示。粒子能量的本征函数和本征值为 3/2?2?x???????
?2n?sinx, 0?x?a? ?(x )?a a ?0, x?0, x?a? 222n?? E n? (n?1， 2， 3， ?) 22?a
?(E)?Cn 动量的几率分布函数为 ?an??*(x)?(x)dx?sinx?(x)dx Cn ???0a 先把? (x)归一化，由归一化条件， ?aa2222222 1??(x)dx?Ax(a?x)dx?Ax(a?2ax?x)dx ??00a ? A2(a2x2?2ax3?x4)dx 0
5555aaaa22 (??)?A ?A 32530
30
∴A? 5 a a230n? ∴ C ??sinx?x(a?x)dx n50aaa aa215n?n? ? 3[axsinxdx?x2sinxdx] 00aaa
2 15a2n?a3n?a2n?? 3[?xcosx?22sinx?xcosxn?aan?aan? a232an?2an? ? xsinx?cosx]2233aan?n?0
415n ?33[1?(?1)] n? 2402n2 ∴ ?(E)?Cn?66[1?(?1)] n? ?960，n?1， 3， 5， ?? ??n6?6 ?0，n?2, 4, 6, ?? 2?a?p??(x)dx??(x)?(x)dx E? ?(x)H??02?
a30?2d2 ?x(x?a)?[?x(x?a)]dx 20a52?dx
30?2a30?2a3a3 ?x(x?a)dx?(?) 550 23?a?a
5?2 ??a2
2?????????????