?a?22?1??1?1?(a,b)??a?b?b?22??
?**22 2cos??icos?22a?1a ?a?11?cos?1?cos?
1?co?sco?s?ico?s
取 a? ，得 b? 22(1?co?s) ?1?cos????
1??1 (Sn)???cos??icos??2?? 2(1?cos?)??
?1?cos??1?cos??icos??0?1?cos???????1 (Sn)????22?2(1?cos?)?1?0??1? ?1(Sn)???cos??icos? 21?cos?cos??icos??????2(1?cos?)11 ??22(1?cos?)22
??的可能值为 ? ?可见， S z22
1?cos? cos2??cos2?1?cos? 相应的几率为 ? 22(1?cos?)2
?1?cos??1?cos??Sz???cos?
22222
?同理可求得 对应于Sn??的本征函数为
2 ??1?cos???
2???(S)?1n?2 ?cos??icos????? 2(1?cos?)??
??的可能值为 ? ? 在此态中， Sz22
1?cos?1?cos? 相应的几率为 22
?Sz??cos?
2 ?1?R21(r)Y11(?,?)?? ? 7.5设氢的状态是 ???23 ???R(r)Y(?,?)??2110 ?2?
?的平均值；?和自旋角动量z分量S ①求轨道角动量z分量L zz
?e?? ??e?L?S ②求总磁矩 M?? 2????????的 z分量的平均值（用玻尔磁矩子表示）。 解：ψ可改写成
②
?1??0?13??R21(r)Y11(?,?)??0???2R21(r)Y10(?,?)??1?? 2????
13 ?R21(r)Y11(?,?)?1(Sz)?R21(r)Y10(?,?)?1(Sz)?22 22?的可能值为 ? 0 从 ψ的表达式中可看出Lz 13相应的几率为 44 ??Lz?
4
?的可能值为 ? ?? Sz22
132 相应的几率Ci为 44
?1?3? 2Sz?CiSzi?????? 24244
eee?e?Lz?Sz?????(?) Mz??2??2?4?4
e?1
???MB 2?44
?7.6 一体系由三个全同的玻色子组成，玻色子之间无相互作用。玻色子只有两个可能的单粒子态。问体系可能的状态有几个？它们的波函数怎样用单粒子波函数构成？
?j，则体系可能的状态为 1i1i2i3 2j1j2j3 1??[?i(q1)?i(q2)?j(q3)??i(q1)?i(q3)?j 33
??i(q2)?i(q3)?j(q1)]
1
?[j(q1)j(q2)i(q3)?j(q1)j(q3)i(q2) 43
解：体系可能的状态有4个。设两个单粒子态为?i，???(q)?(q)?(q)???(q)?(q)?(q)(q2)?????????j(q2)?j(q3)?i(q1)](1)(2)(3)7.7 证明?S和?A组成的正交归一系。 ,?S,?S
(1)?(1)解： ? S?S?[?1/2(S1z)?1/2(S2z)]?[?1/2(S1z)?1/2(S2z)]
??1?/2(S2z)?1?/2(S1z)?1/2(S1z)?1/2(S2z)??1?/2(S2z)?1/2(S2z ) = 1 (1)?(2)?S?S?[?1/2(S1z)?1/2(S2z)]?[??1/2(S1z)??1/2(S2z)](1)?(3)?S?S??1?/2(S2z)?1?/2(S1z)??1/2(S1z)??1/2(S2 z) = 0
1?[?1/2(S1z)?1/2(S2z)]??2?[?1/2(S1z)??1/2(S2z)???1/2(S1z)?1/2(S2z)]2 ??1?/2(S2z)?1?/2(S1z)??1/2(S1z)?1/2(S2z)]1?[?1?/2(S2z)??1/2(S2z)?0 ] = 0 21
?1[?1?/2(S2z)?1?/2(S1z)?1/2(S1z)??1/2(S2z)?同理可证其它的正交归一关系。
(3)?(3) ?S?S?[?1/2(S1z)??1/2(S2z)???1/2(S1z)?1/2(S2z)]??2
?[?1/2(S1z)??1/2(S2z)???1/2(S1z)?1/2(S2z)] 1?[?1/2(S1z)??1/2(S2z)]?[?1/2(S1z)??1/2(S2z)] 2 1?[?1/2(S1z)??1/2(S2z)]?[?1/2(S2z)??1/2(S1z)] 2 1?[?1/2(S2z)??1/2(S1z)]?[?1/2(S1z)??1/2(S1z)] 2 1?[?1/2(S2z)??1/2(S1z)]?[?1/2(S2z)??1/2(S1z)] 2 11??0?0??1 221
7.8 设两电子在弹性辏力场中运动，每个电子的势能是U(r)???2r2。 2
如果电子之间的库仑能和U(r)相比可以忽略，求当一个电子处在基态，另 一电子处于沿x方向运动的第一激发态时，两电子组成体系的波函数。 解：电子波函数的空间部分满足定态S-方程
?2???(r)?U(r)?(r)?E?(r)2??2?2?2?21?(2?2?2)?(r)???2r2?(r)?E?(r)2??x?y?z2?2?2?2?21? (2?2?2)?(r)???2r2?(r)?E?(r)2 ??x?y?z2
考虑到 r2?x2?y2?z2，令 ?(r)?X(x)Y(y)Z(z)2
? ?2?2?21?(2?2?2)XYZ???2(x2?y2?z2)XYZ?EXYZ2?2?y?z ?x ?21?2X1?21?2Y122(? ???x)?(????2y2)222?X?x22?Y?x2
?21?2Z122?(????z)?E 22?Z?x2 ?21?2X122?(????x)?Ex2 2?X?x2 22?1?Y122 (????y)?Ey22?Y?x2
xy ?21?2Z122???z)?Ez (?2?Z?x22
1??2x2 ?Xn(x)?Nne2Hn(?x) 1??2y2 Ym(y)?Nme2Hm(?y)
1??2z2
Z?(z)?N?e2H?(?z)
1??2r2
?nm?(r)?NnNmN?e2Hn(?x)Hm(?y)H?(?z) 122??r 2? nm?(r)?NnNmN?eHn(?x)Hm(?y)H?(?z)
Enm??(n?m???32)?? ???其中 Nn?， ??1/2n ??2n!
对于基态n?m???0，H0?1 1??2r2? ??0??000(r)?()3/2e2?
对于沿χ方向的第一激发态n?1，m???0，
H（1x)?2? x
?2r2?3/2?1)e2 ?0??000(r)?(?
1 ??2r22?5/2E?E?E?Ez?1??100(r)?2?3/4xe2两电子的空间波函数能够组成一个对称波函数和一个反对称波函数，其形式为
1?S (r1,r2)?[?0(r1)?1(r2)??1(r1?0(r2))]2
11 ??2(r12?r22)??2(r12?r22)?42?3/2[x2e?x1e2] ? 14??2(r12?r22)? ?3/2(x2?x1)e2?
1
?A(r1,r2)?[?0(r1)?1(r2)??0(r2)?1(r1)] 21 ??2(r12?r22)?4?3/2(x2?x1)e2
?
而两电子的自旋波函数可组成三个对称态和一个反对称态，即
(1)(2)(3) ?S和?A 、?S、?S
综合两方面，两电子组成体系的波函数应是反对称波函数，即
独态： ?1??S(r1,r2)?A(1)????(r,r)?A12S三重态： 2?(2)???(r,r)??3A12S
?(3) ???(r,r)?A12S?4