(2)计算x的矩阵元 x?rsin?cos?? (x)21m,100?rsin?(ei??e?i?) 21?*R21(r)R10(r)r3dr??Y1*sin? (ei??e?i?)Y00d? m? 20 12 ?f?Y1*m(?Y11 ?Y1?1)d? ? 23 1f(??m1??m?1) ? 6 133 Y11?? sin? ei? Y1?1?sin? e?i? Y00? 8?8?4? x)210,100?0 ?( 1f (x)211,100?? 6 1f (x)21?1,100? 61
rsin?(ei??e?i?) (3)计算y的矩阵元 y?rsin?sin??2i
1?*3*i??i?R(r)R(r)rdr?Ysin?(e?e) Y00d? ( y)21m,100?21101m?0?2i
?1f?2(????) m1m?12i3
1 ?f(??m1??m?1) i6
?(y)210,100?0
i (y)211,100?f 6
i (y)21?1,100?f 6
2?f2f212 1s?(2??2??f)?f2 ?r2p?663 (4)计算f
?256*3 ?R21(r)R10(r)rdr? fa0 0816
313/2213/2?4?2a0r
)?()redr ?(0 2a0a3a00
114！?255256272 ?a0?a0?a04 ?453336a0816
15222 f ?9a0 3
34es2?21?2 r A2p?1s?21 33?c
4es23?es432152
?()?9a0 ?33 3?c8?3 28?3e14?22s ?7?103(?) 3?c? es2
28?e109?1 ?7?6s3?1.91?10s ??3?c ??1?5.23?10?10s?0.52?10?9s A215.7 计算氢原子由2p态跃迁到1s态时所发出的光谱线强度。 解： J2p?1s?N2pA2p?1s???21 28? e103? es4s?N2p?736??2 3c?8? 25?2e14?N2p?6?8s3 ??21?10.2eV
3?c
e1025 ?N2p?6?3s42
3c?a0
?9 ?N?3.1?10W 2p
?9 若 N2p?10，则 J21?3.1W
5.8求线性谐振子偶极跃迁的选择定则 ?22 解： Amk?rmk?xmk
* xmk??mx?kdx
1kk?1x??[???k?1] 由 kk?1?22 * ?m?ndx??mn 1kk?1?m,k?1??m,k?1] xmk?[ ?22 m?k?1时， xmk?0 ? 即选择定则为 ?m?m?k??1
?x??y??z?i 7.1.证明：?
?x??y???y??x?2i??z 及 证：由对易关系?
?x??y???y??x?0 ， 得 反对易关系?
?x??y?i??z ?
?z，得 上式两边乘?
?x??y??z?i??z2 ∵ ??z2?1 ?
?x??y??z?i ∴ ?
??第七章 自旋与全同粒子
7.2 求在自旋态 ?1(S2z)中，S?x和S?y的测不准关系：
(?S2x)(?Sy)2?? 解：在
S?z表象中?1(S2z)、S?x、S?y的矩阵表示分别为
??1????01???0?i?1( Sz)??0?? S?x?2??10?? S?2y?
????2???i0??? ∴ 在?1(Sz)态中 2
SS??01?x???1x?1?(1 0)2???10???1?????0????0 22
S2??01?x??1S?2????01??1??2x?1?(1 0)?????
222??10??2??10????0???4 (?S2S22?2x)?x?Sx?4 S????0?i??1?y??12S?y?12?(1 0)2??
?i0?????0????0 S2??0?i???0?i??1??y??1S?2?2y?1?(1 0)??????
222??i0??2??i0????0???4 2 (?S2?S2?2y)y?Sy?4 (?S)2(?S2?4xy)?
16 讨论：由S?x、S?y的对易关系 [S?x，S?y]?i?S?z 4(?S2S2?x)(?y)? 16 要求(?S)2(?S)2??2S2z
xy4
在??1(Sz)态中，Sz? 22
∴ (?S?422x)(?Sy)?
16 可见①式符合上式的要求。
①
?的久期方程为 解：Sx
? ??2?0 ?2?(?)2?0????? ?22?? 2 ?的本征值为??。 ∴ Sx 2
?a1?? 设对应于本征值的本征函数为 ?1/2?? ?b?? 2?1?
??01??a1???a1?? ????? ，得 ?10????b???2??b?? 由本征方程 Sx1/21/22??11???? 2 ?b1??a1??? ?a?????b?? ? b1?a1
?1??1? a**?1????(a,a)11???1由归一化条件 ?1/2?1/2?1，得 a?1?
112
即 2a1?1 ∴ a1? b1? 22
?1?1?
?对应于本征值的本征函数为 ?1/2??1?? 22??
?a2??????的本征函数为 ?1/2?设对应于本征值 ?? b2?2?
?b2???a2?a???2??? ????????1/2?由本征方程 S ?????b2??a2 x?1/2????a?b?2??2?2?b2? 由归一化条件，得
a?**?2?? (a2,?a2)??1 ???a2?
112
即 2a2?1 ∴ a2? b 2 ? ? 22
?1?1?
? 对应于本征值?的本征函数为 ??1/2???1?? 22??
?的本征值为??。其相应的本征函数分别为 同理可求得Sy2
???????7.3.求S及Sxy?? 2?10?2???i的本征函数。 ??01???0?i??的本征值和所属0????121?1????i2??????121?1?????i2???7.4 求自旋角动量(cos?,cos?,cos?)方向的投影
??S?cos??S?cos??S?cos? Snxyz
本征值和所属的本征函数。
?有哪些可能值？这些可 在这些本征态中，测量Sz
?的平均值是多少？ 能值各以多大的几率出现？Sz ? 表象，S?的矩阵元为 解：在Szn 01???0?i???10???????????Scos??cos??cos????? n2?10?2?i0?2?0?1??? cos?cos??icos?????S??? n2?cos??icos??cos???
其相应的久期方程 ??cos???(cos??icos?) 22?0? ?(cos??icos?)?cos??? 22 22??2222 ??cos??(cos??cos?)?0即 44 ?22(利用cos2??cos2??cos2??1)???0 4
? ?的本征值为??。 所以Sn2
a? 设对应于S??的本征函数的矩阵表示为?(S)????n??，2?b? 则
cos?cos??icos???a???a???????????????? ?cos?2?cos??icos???b?2?b?
?a(cos??icos?)?bcos??b cos??icos?b?1?cos?
由归一化条件，得
????2n12