3.9.设氢原子处于状态 ?(r, ?,?)?R21(r)Y10(?,?)?R21(r)Y1?1(?,?) 22
求氢原子能量、角动量平方及角动量Z分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。
解：在此能量中，氢原子能量有确定值
?es2?es2??2 (n?2) E 2??2213
角动量平方有确定值为
L2??(??1)?2?2?2 (??1)
角动量Z分量的可能值为
LZ1?0LZ2???
其相应的几率分别为 13 ，
44 其平均值为 133 LZ ??0?????? 444
3.10一粒子在硬壁球形空腔中运动，势能为
??, r?a; U(r)?? ?0, r?a 求粒子的能级和定态函数。 r?a的区域，U(r)??，所以粒子不可能运动到这一区域，即在这区域粒子的波 解：据题意，在 函数 ??0 (r?a) a的区域内，U(r)?0。只求角动量为零的情况，即??0，这时在各个方向发现粒子的几 由于在r? ?、?无关，是各向同性的，因此，粒子的波函数只与r有关，而率是相同的。即粒子的几率分布与角度 ?(r)，则粒子的能量的本征方程为 与?、?无关。设为 21d?d? ? (r2)?E? 2?rdrdr
2?E2 令 U(r)?，得 rE?, k?22?n8?d2u 2u?0 ?k2dr
其通解为 ? u(r)?Acoskr?Bsinkr
AB??? (r)?coskr?sinkrrr
波函数的有限性条件知， ?(0)?有限，则
A = 0 B(r)?sinkr ∴ ?
r B?(a)?0 ? sinka?0 由波函数的连续性条件，有
a(n?1,2,?) ∵B? 0 ∴ka?n?
n? n2?22?? ∴ En? k 2a2?a ?(r)?Bn?sinr ra其中B为归一化，由归一化条件得 00
an?222 sin?4??Brdr?2? aB0a
1
∴ B? 2? a ∴ 归一化的波函数
n?
sinr1a #
?(r)?2? ar
223.11. 求第3.6 题中粒子位置和动量的测不准关系(?x)?(?p)?? 01???d????d???a?(r)r2sin? dr2? p?0 解： 2522p?2? T?k? 4?1 2x?Ax[sin2kx?coskx]2dx?0 ? ?2?1 2A2x2[sin2kx?coskx]2dx?? x??? 2 (?x)2?(?p)2?(x2?x2)?(p2?p2)?? 3.12.粒子处于状态 11/2ix2 )exp[p0x?2] ?(x)?(?2??24?
式中? 为常量。当粒子的动量平均值，并计算测不准关系(?x)2?(?p)2?? ?(x)归一化，由归一化条件，得 解：①先把
x2x ? ? (2)2??211x2?2? 1?edx?ed() 2??2??2??22?2??
111/2 ? ??() 222?? 2?? 21?? ∴ / 2?
∴ 是归一化的
i?2(x)?exp[px?x] ? 0?2
② 动量平均值为 i?i?? p0x? x2 p0x? x2??di22 p?*(?i?)?dx??i?e?( p0?? x)e?dx ?????dx?
?i ??x2dx ??i?( p0?? x)e??? ??2 ??x2 ?p0edx?i? ?xe ??xdx ???? ?p0
③ (?x)2?(?p)2?? ????????? x??????*x?dx??xe ??xdx （奇被积函数） ???2 x?2
1 ? ? 2?ii2? p0x??x2dp0x??x2??d2222 p????*? dx???e?e? dx ????dxdx
2??22p0 2)?i2??p0xe??xdx??2?2x2e??x dx ??(???????
2p0 21?2)?0?(??2?2)?(?2?p0) ??(?? ?2?22 212 (?x)?x?x? 2?2?2?22 222 (?p)?p?p?(??p0)?p0?? 22 1?21222???? (?x)?(?p)? 2?24
第四章 态和力学量的表象 4.1.求在动量表象中角动量Lx的矩阵元和L2x的矩阵元。 i??i?? p?r13??p??r?z?zp?y)e?d? 解：(Lx)p ?p?()e(yp2?? i??i??p?r13??p??r ?( )e(ypz?zpy)e?d? 2??
i??i??13??p??r???p?r ?()e(?i?)(pz?py)ed? 2???py?pz
i??? ?r??13?（p?p?） ?(?i?)(p?p)()ed? zy ?py?pz2??
?????i?(p?p)?(p?p?) yz?pz?py 2*?2???? (Lx)p? pp?(x)Lx?pd? i??i?? p?r13??p??r2??z?zp?y)ed? ?()e(yp 2??i??i?? p?r13??p??r??z?zp?y)(yp?z?zp?y)ed? ?()e(yp
2?? i??i??13??p?r???p?r?z?zp?y)(i?)(py ?()e(yp?pz)ed? 2???p?pzy
i??i??p?r??13??p??r ??z?zp?y)ed? ?(i?)(py?pz)()e(yp ?pz?py2??i??? ?r??213?（p?p?）2 ???(py?pz)()ed?
?pz?py2??
??2?? ???2(py?pz)?(p?p?) ????xe2 ??x221dx??xe??x2?????12?????e ??xdx 2???????????????pz?py4.2 求能量表象中，一维无限深势阱的坐标与动量的矩阵元。 un(x)?解：基矢：sinx aa
222??n E? 能量： n22?a
a2m?a1u
xsin2xdx? ucosnudu?2cosnu?sinnu?c 对角元：xmm?0aa2nn
2am?n?
(sinx)?x?(sin)dx 当时，m?n xmn?0aaa
1a?(m?n)?(m?n)???x?cosx?cosx?dx a0?aa? a2?1a(m?n)?ax(m?n)? ??[cosx?sinx]22aa(m?n)?a? 0?(m?n)?a ?a2(m?n)?ax(m?n)? ?[cosx?sinx]? 22a(m?n)?a(m?n)?0? ? ??a11m?n?(?1)?1???2 ?2(m?n)2??(m?n)
a4mnm?n?2(?1)?1 222?(m?n)
a2m?dn?*?un(x)dx??i? pmn?um(x)psinx?sinxdx0aadxa
2n??am?n? ??i2sinx?cosxdx0aaa
n??a?(m?n)?(m?n)??
??i2?sinx?sinx?dx0 aaa?? aa(m?n)?a(m?n)?? in????cosx?cosx? 2?a(m?n)?a a?(m?n)??0
n??a?11???(?1)m?n?1] i2??a??(m?n)(m?n)?
(?1)m?n?1i2mn??(m2?n2)a
cos(m?n)ucos(m?n)usin??C mucosnudu??2(m?n)2(m?n)
2n??????????????????4.3 求在动量表象中线性谐振子的能量本征函数。 解：定态薛定谔方程为 21p222d C(p,t)?C(p,t)?EC(p,t) ????222?dp 221dp22 即 ????C(p,t)?(E?)C(p,t)?0 222?dp
2
两边乘以，得 ?? 1d22Ep2 ?C(p,t)?(?)C(p,t)?0 1dp2????? ???
11令? ? p?? p, ????????
2E ?? ??d 22C(p,t)?(???)C(p,t)?02 d? 跟课本P.39(2.7-4)式比较可知，线性谐振子的能量本征值和本征函数为
En?(n?12)??
1i??2p2?Ent 2?C(p,t)?NneHn(?p)e
Nn为归一化因子，即 式中 ?1/2N?() n1/2n ?2n!
4.4.求线性谐振子哈密顿量在动量表象中的矩阵元。
解：
121?2?2122?????x??H? p???2x222?22??x2 ?Hpp???*p(x)H?p(x)dx ii?pxp?x1?2?2122??? e(????x)edx2??2??x22
ii(p??p)x(p??p)x?? ?2i112122??(p?)e?dx???xe?dx???? 2??2??22?? 2i2(p??p)x??p?1212??? ?(p??p)???()edx2???2?22??i?p
i2? p?211?(p??p)x2?2???(p??p)???()edx 2?2i?p?2????? 22
???????p1??(p??p)???2?22?(p??p)2?2?p?