（1）判定函数f（x）的奇偶性；
（2）判定函数f（x）在R上的单调性，并证明. 解 （1）对?x∈R有-x∈R， 并且f（-x）=
2?x?11?2x2x?1==-=-f（x）， ?xxx2?11?22?1所以f（x）是奇函数.
（2）f(x)在R上单调递增，证明如下： 任取x1,x2∈R，并且x1＞x2, f(x1)-f(x2)= ==
2x1?12
x1
?12-
2x2?1x2?1
(2x1?1)(2x2?1)?(2x2?1)(2x1?1)(2x1?1)(2x2?1)2(2x1?2x2)(2x1?1)(2x2?1).
∵x1＞x2,∴2x1＞2x2＞0,
∴2x1-2x2＞0, 2x1+1＞0, 2x2+1＞0. ∴
2(2x1?2x2)(2x1?1)(2x2?1)＞0.
∴f(x1)＞f(x2).
∴f(x)在R上为单调递增函数.
一、填空题 1.由
7598139b?mb＞,＞,＞,?若a＞b＞0,m＞0，则与之间的大小关系为 .
a10811102521a?mb?mb＞ aa?m2
2
答案
2.已知a1=1,an+1＞an，且(an+1-an)-2(an+1+an)+1=0，猜想an的表达式为 . 答案 an=n 3.已知f(x)=x答案 -24
4.由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn=nm”类比得到“a·b=b·a”；②“（m+n）t=mt+nt”类比得到“(a+b)·c=a·c+b·c”；③“(m·n)t=m(n·t)”类比得到“（a·b）·c=a·（b·c）”；④“t≠0,mt=xt?m=x”类比得到“p≠0,a·p=x·p?a=x”;⑤“|m·n|=|m|·|n|”类比得到“|a·b|=|a|·|b|”；⑥“
acaa?ca=”类比得到“=”. bcbb?cb2 008
+ax
2 007
-
bx2009-8,f(-1)=10,则f(1)= .
以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是 . 答案 2
5.下列推理是归纳推理的是 （填序号）.
①A，B为定点，动点P满足|PA|+|PB|=2a＞|AB|，得P的轨迹为椭圆
②由a1=1，an=3n-1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式 ③由圆x+y=r的面积?r，猜想出椭圆④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇 答案 ② 6.
已
知
整
数
的
数
对
列
如
下:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),?则第60个数对是 . 答案 (5,7)
7.在平面几何中，△ABC的内角平分线CE分AB所成线段的比
AEAC=，把这个结论类比到空间：在三棱锥EBBC2
2
2
2
x2a2?y2b2=1的面积S=?ab
A—BCD中（如图所示），而DEC平分二面角A—CD—B且与AB相交于E，则得到的类比的结论是 .
答案
AES?ACD= EBS?BCD
8.（2008·金陵中学模拟）现有一个关于平面图形的命题：如图所示，同一个平面内有两个边长都是a的正
a2方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为.类比到空间，有两个
4棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为 .
a3答案
8二、解答题
9.把空间平行六面体与平面上的平行四边形类比，试由“平行四边形对边相等”得出平行六面体的相关性质. 解 如图所示，
由平行四边形的性质可知AB=DC，AD=BC， 于是类比平行四边形的性质, 在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中， 我们猜想：
S?ABCD=S?A1B1C1D1,S?ADD1A1=S?BCC1B1, S?ABB1A1=S?CDD1C1,
且由平行六面体对面是全等的平行四边形知，此猜想是正确的.
10.已知梯形ABCD中，AB=DC=AD，AC和BD是它的对角线.用三段论证明：AC平分∠BCD，BD平分∠CBA. 证明 （1）两平行线与第三直线相交，内错角相等（大前提）
∠BCA与∠CAD是平行线AD，BC被AC所截内错角（小前提） 所以，∠BCA=∠CAD（结论）
（2）等腰三角形两底角相等（大前提） △CAD是等腰三角形，DA=DC（小前提） 所以，∠DCA=∠CAD（结论）
（3）等于同一个量的两个量相等（大前提） ∠BCA与∠DCA都等于∠CAD（小前提） 所以，∠BCA=∠DCA（结论） （4）同理，BD平分∠CBA.
11.如图所示，点P为斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱BB1上一点，PM⊥BB1交AA1于点M，PN⊥BB1交CC1于点N. （1）求证：CC1⊥MN；
（2）在任意△DEF中有余弦定理：DE=DF+EF-2DF·EF·cos∠DFE.
拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面 角之间的关系式，并予以证明. 证明 （1）∵PM⊥BB1，PN⊥BB1， ∴BB1⊥平面PMN.∴BB1⊥MN. 又CC1∥BB1，∴CC1⊥MN.
（2）在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，有
S2=S2+S2-2SBCCBSACCAcos?. ABBABCCBACCA11111111112
2
2
其中?为平面CC1B1B与平面CC1A1A所成的二面角. ∵CC1⊥平面PMN，
∴上述的二面角的平面角为∠MNP. 在△PMN中，
∵PM=PN+MN-2PN·MNcos∠MNP
222∴PM·CC1=PN·CC1+MN·CC1-2（PN·CC1）·（MN·CC1）cos∠MNP，
2
2
2
2
2
2
由于SBCC1B1=PN·CC1，SACC1A1=MN·CC1， SABB1A1=PM·BB1=PM·CC1，
∴S2=S2+S2-2SBCCB·SACCA·cos?. ABBABCCBACCA111111111112.已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值.试对双曲线写出具有类似特性的性质，并加以证明. 解 类似的性质为：若M、N是双曲线
x2a2?y2b2=1
x2a2?y2b2=1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，
当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值. 证明如下：
设点M、P的坐标分别为（m，n），（x，y），则N（-m，-n）. 因为点M（m,n）在已知双曲线上， 所以n=
2
b2a2m-b.同理y=
222
b2a2x-b.
22
y?ny?ny2?n2则kPM·kPN =·=
x?mx?mx2?m2=
b2a2·
x2?m2x?m22=
b2a2(定值).
§13.4 直接证明与间接证明
1.分析法是从要证的结论出发,寻求使它成立的 条件. 答案 充分 2.若a＞b＞0,则a+答案 ＞
3.要证明3+7＜25，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是 （填序号）. ①反证法 答案 ②
4.用反证法证明命题：若整系数一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）有有理数根，那么a、b、c中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是 . ①假设a、b、c都是偶数 ②假设a、b、c都不是偶数 ③假设a、b、c至多有一个偶数 ④假设a、b、c至多有两个偶数 答案 ②
5.设a、b、c∈（0，+∞），P=a+b-c，Q=b+c-a，R=c+a-b，则“PQR＞0”是“P、Q、R同时大于零”的 条件.
答案 充要
2
基础自测
11 b+.(用“＞”,“＜”,“=”填空)
ab ②分析法 ③综合法
22例1 设a,b,c＞0,证明：
ab2cb?c?a≥a+b+c. 证明 ∵a,b,c＞0，根据基本不等式，
有a2b+b≥2a,b2c2c+c≥2b,a+a≥2c.
a2b2c2三式相加：b+c+a+a+b+c≥2(a+b+c).
2即
ab+b2c+c2a≥a+b+c. 例2 （14分）已知a＞0,求证： a2?1a2-2≥a+
1a-2. 证明 要证a2?1a2-2≥a+
1a-2, 只要证a2?1a2+2≥a+
1a+2. ∵a＞0,故只要证???a2?1?2?2?≥（a+1+2）2
,
?a2??a即a2
+
12a2+4a?1a2+4
≥a2+2+
11a2+22???a??a??+2,
从而只要证2a2?1≥2??1?a2?a?a??,
只要证4???a2?1????≥2（a2+2+1a2）,即a2
+1a2≥2,而该不等式显然成立，?a2故原不等式成立.
例3 若x,y都是正实数，且x+y＞2, 求证：
1?xy＜2与1?yx＜2中至少有一个成立.
证明 假设1?xy＜2和1?yx＜2都不成立，
则有
1?xy≥2和1?yx≥2同时成立，
因为x＞0且y＞0,
所以1+x≥2y，且1+y≥2x， 两式相加，得2+x+y≥2x+2y，
所以x+y≤2，这与已知条件x+y＞2相矛盾， 因此1?x1y＜2与?yx＜2中至少有一个成立.
2分
6分
8分
10分
14分