代入原式，得(2a)-3(a+b)i=4-6i,
2??4a?4根据复数相等得?,
22??3(a?b)??6?2
2
2
?a?1?a?1?a??1?a??1解得?或?或?或?.
?b?1?b??1?b?1?b??1?x?1?i?x?1?i故所求复数为?或?
y?1?iy?1?i???x??1?i?x??1?i或?或?.
y??1?iy??1?i??例3 计算： （1）(3)
(?1?i)(2?i)i32;
(1?2i)2?3(1?i)(2);
2?i1?3i(3?i)21?i(1?i)+
1?i(1?i)i32; (4) =
.
解 （1）
(?1?i)(2?i)?3?i=-1-3i. ?i(2) =
(1?2i)2?3(1?i)?3?4i?3?3i=
2?i2?ii(2?i)12i==+i. 2?i555(3)
1?i(1?i)2+
1?i(1?i)2=
1?i1?i+ 2i?2i=
1?i?1?i+=-1. ?221?3i(3?i)2(4) =
(3?i)(?i)(3?i)2=
?i3?i
=
1(?i)(3?i)3=--i.
444例4 (14分)如图所示，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0，3+2i,-2+4i，
试求：
（1）AO、BC所表示的复数； （2）对角线CA所表示的复数; (3)求B点对应的复数.
解 （1）AO=-OA，∴AO所表示的复数为-3-2i. ∵BC=AO，∴BC所表示的复数为-3-2i. （2）CA=OA-OC，∴CA所表示的复数为 (3+2i)-(-2+4i)=5-2i.
9分
(3)OB=OA+AB=OA+OC,
∴OB表示的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i, 即B点对应的复数为1+6i.
14分
3分 6分
1.已知m∈R，复数z=
m(m?2)2
+(m+2m-3)i,当m为何值时，（1）z∈R；（2）z是纯虚数；（3）z对应的点位
m?12
于复平面第二象限；（4）z对应的点在直线x+y+3=0上. 解 （1）当z为实数时,则有m+2m-3=0且m-1≠0 得m=-3,故当m=-3时，z∈R.
?m(m?2)?0?（2）当z为纯虚数时,则有?m?1
?m2?2m?3?0.?解得m=0，或m=2.
∴当m=0或m=2时，z为纯虚数.
（3）当z对应的点位于复平面第二象限时,
?m(m?2)?0?则有?m?1
?m2?2m?3?0.?解得m＜-3或1＜m＜2，故当m＜-3或1＜m＜2时，z对应的点位于复平面的第二象限. （4）当z对应的点在直线x+y+3=0上时, 则有
m(m?2)+(m2?2m?3)?3?0,
m?1m(m2?2m?4)得=0，解得m=0或m=-1±5.
m?1∴当m=0或m=-1±5时，z对应的点在直线x+y+3=0上.
2.已知复数z1=m+(4-m)i(m∈R),z2=2cos?+(?+3sin?)i (?∈R).若z1=z2,求?的取值范围. 解 ∵z1=z2,∴m+(4-m)i=2cos?+(?+3sin?)i, ??m?2cos?由复数相等的条件，得?, 2?4?m???3sin??22
∴?=4-m-3sin?=4-4cos?-3sin? =4sin?-3sin?=4(sin?-∵-1≤sin?≤1, ∴当sin?=∴-39时，?min=-;当sin?=-1时，?max=7,
8162
22
329)-,
8169≤?≤7. 163.计算下列各题
(2?2i)3(4?5i)（1）；
(5?4i)(1?i)?2??（2）+???1?i1?23i???23?i2006.
(2?2i)3(4?5i)22(1?i)3i(5?4i)解 （1）=
(5?4i)(1?i)(5?4i)(1?i)
22(1?i)4i422==2i（1+i）=2i［（1+i）］
22
=2i（2i）=-42i.
?23?i?2??（2）+??1?23i?1?i??20062???i(1?23i)??2??=+????1?i?1?23i??????1003
?2?=i+????2i?1003=i+i
3
1 003
=i+i
4×250+3
=i+i=i-i=0.
2
4.已知关于x的方程x-（6+i）x+9+ai=0 （a∈R）有实数根b. （1）求实数a，b的值；
（2）若复数z满足|z-a-bi|-2|z|=0，求z为何值时，|z|有最小值，并求出|z|的最小值. 解 （1）∵b是方程x-（6+i）x+9+ai=0 （a∈R）的实根， ∴（b-6b+9）+（a-b）i=0， ??b2?6b?9?0故?解得a=b=3. ?a?b?2
2
（2）设z=x+yi （x，y∈R）， 由|z-3-3i|=2|z|，
得（x-3）+（y+3）=4（x+y）， 即（x+1）+（y-1）=8.
∴Z点的轨迹是以O1（-1，1）为圆心，22为半径的圆. 如图，当Z点在OO1的连线上时，|z|有最大值或最小值. ∵|OO1|=2，半径r=22，
∴当z=1-i时，|z|有最小值且|z|min=2.
2
2
2
2
2
2
一、填空题
1.（2008·天津理）i是虚数单位，答案 -1
2.（2008·广东文）已知0＜a＜2，复数z=a+i(i是虚数单位)，则|z|的取值范围是 . 答案 （1，5）
3.（2008·山东文）设z的共轭复数是z，若z+z=4，z·z=8，则答案 ±i
4.若(a-2i)i=b-i，其中a、b∈R,i是虚数单位，则a+b= . 答案 5
5.在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是1+2i,-2+i，0，则第四个顶点对应的复数为 .
2
2
i3(i?1)= . i?1z= . z
答案 -1+3i 6.设a是实数，且答案 1
7.（2008·北京理，9）已知（a-i）=2i,其中i是虚数单位，那么实数a= . 答案 -1
8.(2008·湖北理，11)设z1是复数，z2=z1-iz1（其中z1表示z1的共轭复数），已知z2的实部是-1，则z2的虚部为 . 答案 1 二、解答题
9.已知z=8+6i,求z-16z-2
3
2
a1?i+是实数，则a= . 1?i2100. zz4?16z2?100(z2?8)2?164(6i)2?164解 原式===
zzz200z200200z=-=-=-2,
zzzz|z|=|z|=|8+6i|=10,又由z=8+6i=［±（3+i)］, ∴z=±(3+i),当z=3+i时，原式=-60+20i； 当z=-3-i时，原式=60-20i. 10.已知z是复数，z+2i、求实数a的取值范围. 解 设z=x+yi (x、y∈R), ∴z+2i=x+(y+2)i,由题意得y=-2. zx?2i1==(x-2i)(2+i) 2?i2?i5z2
均为实数（i为虚数单位），且复数（z+ai）在复平面上对应的点在第一象限，2?i2
2
2
2
=
11(2x+2)+ (x-4)i. 552
2
由题意得x=4,∴z=4-2i. ∴(z+ai)=(12+4a-a)+8(a-2)i,
由于(z+ai)在复平面对应的点在第一象限, ??12?4a?a2?0所以?,解得2＜a＜6,
?8(a?2)?0?2
∴实数a的取值范围是（2，6）.
11.是否存在复数z，使其满足z·z+2iz=3+ai (a∈R),如果存在，求出z的值；如果不存在，说明理由. 解 设z=x+yi (x,y∈R)，则x+y+2i(x-yi)=3+ai. ??x2?y2?2y?3∴? ?2x?a?2
2
a22消去x得y+2y+-3=0,Δ=16-a.
42
当且仅当|a|≤4时，复数z存在，
a2?16?a2-i.
22此时z=
12.设z∈C，求满足z+
1∈R且|z-2|=2的复数z. z解 方法一 设z=a+bi (a,b∈R), 则z+
11a?bi=a+bi+=a+bi+
22za?bia?b=a+
?b+?b??a2?b2?a2?b2aba?b222
???i∈R. ?2
∴b=.∴b=0或a+b=1.
当b=0时,z=a,∴|a-2|=2,∴a=0或a=4. a=0不合题意舍去,∴z=4. 当b≠0时,a+b=1.
2
2
2
2
① ②
又∵|z-2|=2,∴(a-2)+b=4. 由①②解得a=
111515,b=±,∴z=±i. 4444115±i. 44综上可知,z=4或z=方法二 ∵z+
111∈R,∴z+=z+, zzz2z?1z?z∴(z-z)-=0,(z-z)·=0,
2z?zz∴z=z或|z|=1.下同方法一.
单元检测十三
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
z21.（2008·海南文）已知复数z=1-i,则= .
z?1答案 2
2.（2008·宁夏文）如图所示的流程图,如果输入三个实数a,b,c,要求输出这三个数中最大的数,那么在空白的判断框中,应该填入 .（注：框图中的赋值符号“←”也可以写成“=”或“:=”）