又∵ak+1=
22，∴an=.
n(n?1)(k?2)(k?1)
一、填空题
1.用数学归纳法证明：“是“ ”. 答案
111++ 234*
111*
++?+≥1(n∈N)”时，在验证初始值不等式成立时，左边的式子应n?1n?23n?12.如果命题P（n）对于n=k(k∈N)时成立，则它对n=k+2也成立，又若P（n）对于n=2时成立，P（n）对所有 n成立. ①正整数 答案 ②
3.利用数学归纳法证明不等式1+加了 项. 答案 2k
4.用数学归纳法证明“2＞n+1对于n＞n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取 . 答案 5
5.凸n边形有f(n)条对角线，则凸n+1边形的对角线条数f（n+1）= . 答案 f(n)+n-1 6.证明
n?21111＜1++++?+＜n+1(n＞1)，当n=2时，中间式子等于 . 22342n111++ 23413111++?+＜的过程，由n=k推导n=k+1时，不等式的左边增加的
24n?1n?2n?nn
2
②正偶数 ③正奇数 ④所有大于1的正整数
111*
++?+＜n(n≥2，n∈N)的过程中，由n=k变到n=k+1时，左边增232n?1答案 1+
7.用数学归纳法证明不等式式子是 . 答案
111+- 2k?12k?2k?1111++?+＜2 (n∈N,且n＞1)，第一步要证的不等式是 .
n232?18.用数学归纳法证明1+
11+＜2 23答案 1+
二、解答题
9.用数学归纳法证明： 1+
122+
132+?+
1n2≥
3n*
(n∈N). 2n?1证明 （1）当n=1时，左边=1，右边=1， ∴左边≥右边，即命题成立.
（2）假设当n=k(k∈N,k≥1)时，命题成立，
*
1221321k23k. 2k?1即1+++?+ ≥
那么当n=k+1时，要证 1+
122+
132+?+ 1k2+ 1(k?1)2≥
3(k?1),
2(k?1)?1只要证
3(k?1)3k1+ ≥. 2k?1(k?1)22k?3∵=
1-(k?1)23(k?1)3k1-- =
2k?32k?1(k?1)2(k?1)2[4(k?1)2?1]-k(k?2)(k?1)(4k?8k?3)22＜0,
∴
3(k?1)3k1+ ≥成立， 2k?1(k?1)22k?3即1+
122+
132+?+ 1k2+ 1(k?1)2≥
3(k?1)成立.
2(k?1)?1∴当n=k+1时命题成立.
由（1）、(2)知，不等式对一切n∈N均成立.
10.用数学归纳法证明（3n+1）·7-1 (n∈N)能被9整除. 证明 （1）当n=1时，4×7-1=27能被9整除，命题成立. （2）假设n=k (k≥1，k∈N)时命题成立， 即(3k+1)·7-1能被9整除. 当n=k+1时，
［(3k+3)+1］·7-1=(3k+1+3)·7·7-1 =7·(3k+1)·7-1+21·7
=［(3k+1)·7-1］+18·7+6·7+21·7 =［(3k+1)·7-1］+18k·7+27·7， 由归纳假设(3k+1)·7-1能被9整除， 又因为18k·7+27·7能被9整除， 所以［3(k+1)+1］·7-1能被9整除， 即n=k+1时命题成立.
由（1）（2）知，对所有的正整数n，命题成立. 11.数列{an}满足Sn=2n-an(n∈N).
(1)计算a1,a2,a3,a4,并由此猜想通项公式an; （2）用数学归纳法证明（1）中的猜想. （1）解 当n=1时，a1=S1=2-a1,∴a1=1. 当n=2时，a1+a2=S2=2×2-a2,∴a2=
3. 27. 415. 8*
k+1
k
kk
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k+1
k
k
*
n
*
*
当n=3时，a1+a2+a3=S3=2×3-a3,∴a3=
当n=4时，a1+a2+a3+a4=S4=2×4-a4,∴a4=
由此猜想an=
2n?12n?1(n∈N).
*
（2）证明 ①当n=1时，a1=1，结论成立.
2k?12k?1②假设n=k(k≥1且k∈N)时,结论成立，即ak=那么n=k+1时，
ak+1=Sk+1-Sk=2(k+1)-ak+1-2k+ak=2+ak-ak+1. ∴2ak+1=2+ak,
2?ak=22?2k-1k?1-12k-1=2, k22*
,
∴ak+1=
这表明n=k+1时，结论成立， 由①②知猜想an=
2n?12n?1（n∈N）成立.
2
2
2
2
2
2
2
2
*
*
12.是否存在常数a、b、c使等式1+2+3+?+n+（n-1）+?+2+1=an（bn+c）对于一切n∈N都成立，若存在，求出a、b、c并证明；若不存在，试说明理由. 解 假设存在a、b、c使
1+2+3+?+n+（n-1）+?+2+1=an（bn+c） 对于一切n∈N都成立. 当n=1时，a（b+c）=1； 当n=2时，2a（4b+c）=6； 当n=3时，3a（9b+c）=19.
1?a?,??a(b?c)?1,3??解方程组?a(4b?c)?3 解得?b?2,
?c?1.?3a(9b?c)?19,????*
2
2
2
2
2
2
2
2
证明如下：
①当n=1时，由以上知存在常数a,b,c使等式成立. ②假设n=k（k∈N）时等式成立， 即1+2+3+?+k+（k-1）+?+2+1 =
12
k（2k+1）； 32
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
*
当n=k+1时，
1+2+3+?+k+（k+1）+k+（k-1）+?+2+1 =====
1222
k（2k+1）+（k+1）+k 3122
k（2k+3k+1）+（k+1） 312
k（2k+1）（k+1）+（k+1） 312
（k+1）（2k+4k+3） 312
（k+1）［2（k+1）+1］. 3即n=k+1时，等式成立.
1*
，b=2，c=1，使等式对一切n∈N都成立. 3因此存在a=
§13.6 数系的扩充与复数的引入
基础自测
a?i是纯虚数，则a= . 1?i1.（2008·浙江理）已知a是实数，
答案 1
2.（2009·海安高级中学高三第四次检测）已知m∈R，复数z=复平面的第二象限，则m的取值范围是 . 答案 m＜-3或1＜m＜2
3.满足条件|z|=|3+4i|的复数z在复平面上对应点的轨迹方程是 . 答案 x+y=25 4.（2008·辽宁理）复数答案
1 511+的虚部是 . ?2?i1?2i2
2
m(m?2)2
+（m+2m-3）i，若z对应的点位于
m?15.设z为复数z的共轭复数，若复数z同时满足z-z=2i, z=iz;则z= . 答案 -1+i
例1 已知复数z=
a2?7a?6a2?1+(a-5a-6)i(a∈R),
2
试求实数a分别取什么值时，z分别为： （1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数. 解 （1）当z为实数时， ?a2?5a?6?0?则有?a2?7a?6，
有意义??a2?1?a??1或a?6∴?,∴a=6，即a=6时，z为实数.
a??1?（2）当z为虚数时， 则有a-5a-6≠0且
2
a2?7a?6a?12有意义，
∴a≠-1且a≠6且a≠±1.∴a≠±1且a≠6.
∴当a∈(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,6)∪(6,+∞)时，z为虚数. ?a2?5a?6?0?（3）当z为纯虚数时，有?a2?7a?6,
?0??a2?1?a??1且a?6∴?. ?a?6∴不存在实数a使z为纯虚数.
例2 已知x,y为共轭复数，且（x+y）-3xyi=4-6i，求x,y. 解 设x=a+bi (a,b∈R)，则y=a-bi, x+y=2a,xy=a+b,
2
2
2