(2)
①当 e 取得最小值 ①
2 时， P 在短轴顶点， 2 c 2 = , a2 = b2 + c2 , a 2
所以 S PF1F2 = bc = 16 , 又
x2 y 2 =1 故求得： a = 4 2, b = 4, c = 4 。 所以椭圆方程为： + 32 16
【法一： 点差法】 A x1 , y1 , B x2 , y2 , AB 的中点为 M x0 , y0 , 设 设 ②
(
)
(
)
(
)
x12 y12 =1 + ( x + x )( x x ) ( y + y2 )( y1 y2 ) = 0 32 16 1 2 1 2 + 1 则 2 2 32 16 x2 + y2 = 1 32 16 y1 y2 x +x = 1 2 x1 x2 2 ( y1 + y2 )即 k =
x0 2 y0
LL LLLL
①
由已知 AB 的垂直平分线方程为： y =
1 x 3 k 1 x0 3 k3LL ②
易知点 M x0 , y0 在该直线上，所以 y0 =
(
)
x0 = 2 3k 由①,②可求得： y0 = 3 由已知：点 M 在椭圆内部，
即 M 2 3k ,
(
)
所以
(
2 3k 32
) +( )2
2
3
16
<1
78 78 <k< 6 6
【法二：联立方程法】设 A x1 , y1 , B x2 , y2 , 设直线 AB 的方程为 y = kx + b , AB 的垂直平分线方程为： y =
(
)
(
)
1 x 3 k
y = kx + b 消 y 去得： 1 + 2k 2 x 2 + 4kbx + 2b 2 32 = 0 联立 x 2 y 2 =1 + 32 16
(
)
则有 = 16k 2 b 2 4 1 + 2k 2
(
)( 2b
2
32 ) > 0
即 b 2 < 16 1 + 2k 2
(
)
LL ①