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2整理得10d?10d?0， 解得d?0或d?1．
由d?0,可得d?1．a1?a4?3d?10?3?1?7， 所以an?a1?(n?1)d?n?6． ??6分
（Ⅱ）由bn?2n(n?N*)，an?n?6，可得bn?2n?6.所以b1?21?6?128．
abn?12n?7因为?n?6?2，所以数列?bn?是首项为128，公比为2的等比数列． ??12分
bn2128(1?2n)?2n?7?128．????13分 所以?bn?的前n项和公式为Sn?1?238.（2011年东城区期末理16）已知数列?an?的前n项和Sn?n2?n，数列?bn?满足（Ⅱ）设数列?cn?的前bn?1?2bn?1(n?N*)，且b1?5.（Ⅰ）求?an?,?bn?的通项公式；
n项和为Tn，且cn?11，证明：Tn?.
2an?log2(bn?1)（Ⅰ）解：当n?1时，a1?S1?2．
当n?2时，an?Sn?Sn?1?n2?n?[(n?1)2?(n?1)]?2n． 当n?1时，2n?2?a1．
所以an?2n． ??????????3分
由bn?1?2bn?1，得bn?1?1?2(bn?1)，又b1?1?4?0， 所以?bn?1?是以4为首项，2为公比的等比数列． 所以bn?1?(b1?1)2n?1?2n?1．
所以bn?2n?1?1．????????????6分 （Ⅱ）证明：cn?11 ?n?1an?log2(bn?1)2nlog2(2?1?1)?11111?(?)． ???9分 ?n?12nlog222n(n?1)2nn?1故Tn?1111[??…?] 21?22?3n(n?1)111111?[(1?)?(?)?…?(?)] 2223nn?1第 6 页 共 35 页 金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com
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?11(1?)． ???????12分 2n?11． ??????????13分 2所以Tn?39．（2011年房山区期末文17）已知数列{an}是等差数列，a1?2，且a2，a4，a8成等比数列．（I）求等差数列{an}的通项公式；（II）如果数列{bn}是等比数列，且b1?a2，b2?a4，求{bn}的前n项和Sn．
解：（I）因为数列{an}是等差数列，设其公差为d，a1?2，则a2?2?d，a4?2?3d，
a8?2?7d.
由a2，a4，a8成等比数列，得a42=a2a8，即
(2?3d)2=(2?d)(2?7d) --2分
解得d?0或d?2， -- 4分 所以an?2或an?2n. ------ 6分
（II）当an?2时，b1?a2?2，b2?a4?2，公比q?1，
{bn}的前n项和Sn?nb1?2n； -----9分
当an?2n时，b1?a2?4，b2?a4?8，公比q?2， ----10分
b1(1?qn){bn}的前n项和Sn??4(2n?1). ---13分
1?q40．（2011年房山区期末理20）已知数列?an?中，a1?2，an?1?4an?2?n?N*?，设
3an?1bn?3an?2．（Ⅰ）试写出数列?bn?的前三项；（Ⅱ）求证：数列?bn?是等比数列，并求 an?1数列?an?的通项公式an；（Ⅲ）设?an?的前n项和为Sn，求证：
?n?1??2n?1?n?2?S2n?1?1nn?2??2n?1?1??2n?1?n?N*?．
解：（Ⅰ）由a1?2，an?1?6144an?2?n?N*?，得a2=，a3=.
5133an?1第 7 页 共 35 页 金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com
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由bn?3an?2，可得b1?4，b2?8，b3?16.-----3分 an?14an?2，故
3an?1（Ⅱ）证明：因an?1?bn?1?3an?1?212an?6?6an?23a?2??2?n?2bn. ---5分
an?1?14an?2?3an?1an?123a?2，因此数列?bn?是以1?4为首项，以2为公比的等比数列，即3a1?1显然an?bn?3an?2?4?2n?1?2n?1. ----7分
an?12n?1?2解得an?n?1. ----8分
2?32n?1?nn?1（Ⅲ）因为an?1?n?1 n2?32?2?3?21?1? 所以
?2n?1?1???2n?1?2n?2n?1?2n?2n?1?1?1?11, ?nn?12?12?1n?1??2n?1?n?2?11?1?； ----11分 Sn???1?k?k?1??n?1?n?1?n?12?12?1?2?12?1k?1?
141?1?n?1?1?n?1（当且仅当n?1时取等号） 又an?1?n?1，故
2?322n1?1?2?n?n?2??2?Sn???1?k?1??n???1n?121?22??k?1
nn?1?1.
n?1??2n?1?n?2? 综上可得?S2n?1?1nn?2??2n?1?1??2n?1?n?N*?. -14分
*41．（2010年海淀期中理16）在等比数列{an}中，an?0(n?N)，且a1a3?4，a3?1是
（II）若数列{bn}满足bn?an?1?log2ana2和a4的等差中项.（I）求数列{an}的通项公式；（n?1,2,3...），求数列{bn}的前n项和Sn. 解：（I）设等比数列{an}的公比为q.
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由a1a3?4可得a22?4， ???1分
因为an?0，所以a2?2 ??2分 依题意有a2?a4?2(a3?1)，得2a3?a4?a3q ????3分 因为a3?0，所以，q?2 ?????4分 所以数列{an}通项为an?2n?1 ????6分 （II）bn?an?1?log2an?2n?n?1 ???....8分
2(1?2n)(n?1)n?可得Sn?(2?2?2?...?2)?[1?2?3?...?(n?1)]? ...12分
1?2223n ?2n?1?2?n(n?1) ??13分 2a1?a2?a3???an?n?an,(n?1,2,3,?)42．（2010年海淀期中理18）已知数列{an}满足：
（I）求a1,a2,a3的值；（Ⅱ）求证：数列{an?1}是等比数列；（Ⅲ）令bn?(2?n)(an?1)（n?1,2,3...），如果对任意n?N，都有bn?t?t2，求实数t的取值范围. 解：（I）a1?,a2?,a3?*1412347 ?..3分 8（II）由题可知：a1?a2?a3???an?1?an?n?an ①
a1?a2?a3???an?an?1?n?1?an?1 ② ②-①可得2an?1?an?1 ..5分 即：an?1?1?(an?1)，又a1?1?? 所以数列{an?1}是以?为首项，以
121???..7分 2121为公比的等比数列???..8分 212n?2bn?n ...10分
2n?1?2n?2n?1?2(n?2)3?n由bn?1?bn??n??n?1?0可得n?3
2n?122n?12（Ⅲ）由(2)可得an?1?()n， ?????...9分 由bn?1?bn?0可得n?3 ??....11分 所以 b1?b2?b3?b4?b5???bn??
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1 81所以，对任意n?N*，有bn? ???....12分
811如果对任意n?N*，都有bn?t?t2，即bn?t2?t成立，
44111则(bn)max?t2?t，故有：?t2?t，???....13分
48411解得t?或t??
24故bn有最大值b3?b4???） 所以，实数t的取值范围是(??,?]?[， ????14分
43．（2010年海淀期中文15）已知在等比数列{an}中，a1?1，且a2是a1和a3?1的等差中项.（I）求数列{an}的通项公式；（II）若数列{bn}满足bn?2n?1?an(n?N*)，求{bn}的前n项和Sn.
解：（I）设等比数列{an}的公比为 q ?a2是a1和a3?1的等差中项
?2a2?a1?(a3?1)?a3 ???????.2分 ?q?1412a3?2 ???4分 a2 ?an?a1qn?1?2n?1(n?N*)??????6分 （II）?bn?2n?1?an
?Sn?(1?1)?(3?2)?(5?22)???(2n?1?2n?1).?.8分
?[1?3?5??(2n?1)]?(1?2?22???2n?1).9分
1?(2n?1)1?2n?n? ? ?.11分 21?2 ?n?2?1 ?13分
44．（2010年海淀期中文19）在数列{an}中，a1?a2?a3?...?an?n?an（n?1,2,3...）．
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