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4（2011石景山一模理20）．（本小题满分14分）
?已知定义在R上的函数f(x)和数列{an}，a1?a，a2?a1，当n?N且n?2时，
an?f(an?1)，且f(an)?f(an?1)?k(an?an?1)，其中a，k均为非零常数．
（Ⅰ）若数列{an}是等差数列，求k的值；
（Ⅱ）令bn?an?1?an(n?N?)，若b1?1，求数列{bn}的通项公式； （Ⅲ）若数列{an}为等比数列，求函数f(x)的解析式．
解：（Ⅰ）由已知an?f(an?1)，f(an)?f(an?1)?k(an?an?1)(n?2,3,4,???)，
得an?1?an?f(an)?f(an?1)?k(an?an?1) (n?2,3,4,???)． 由数列{an}是等差数列，得an?1?an?an?an?1(n?2,3,4,???)． 所以，an?an?1?k(an?an?1)，(n?2,3,4,???)，
所以k?1． ??????4分 （Ⅱ）由b1?a2?a1?0，可得b2?a3?a2?f(a2)?f(a1)?k(a2?a1)?0.
且当n?2时，
bn?an?1?an?f(an)?f(an?1)?k(an?an?1)?????kn?1(a2?a1)?0．
所以，当n?2时，
bna?af(an)?f(an?1)?n?1n??k， ?????7分 bn?1an?an?1an?an?1因此，数列{bn}是一个首项为b1，公比为k的等比数列． 所以 数列{bn}的通项公式是bn?b1kn?1?kn?1(n?N?)．????????8分
?（Ⅲ）若{an}是等比数列，由（Ⅱ）知，bn?kn?1(a2?a1)(n?N)，
b1?b2???bn?1?(a2?a1)?(a3?a2)???(an?an?1)?an?a1(n?2)， an?a1?(b1?b2?????bn?1)． ????????????????10分
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当k?1时，an?a1?(a2?a1)(n?1)(n?2)． 上式对n?1也成立，所以，数列{an}的通项公式为：
an?a?(f(a)?a)(n?1)(n?N?)．
所以，当k?1时，数列{an}是以a为首项，f(a)?a为公差的等差数列． 所以，k?1． ??????????????????????????12分
1?kn?1当k?1时，an?a1?(a2?a1)(n?2)．
1?k上式对n?1也成立，
1?kn?1f(a)?a(f(a)?a)kn?1?a??所以 an?a?(f(a)?a) 1?k1?k1?k所以 a?f(a)?a?0?f(a)?ka．
1?k所以 等式f(a)?ka对于任意实数a均成立．
所以 f(x)?kx(k?1)． ????????????????????14分
5(2011朝阳一模文20)．（本小题满分14分）
有n(n≥3, n?N?)个首项为1，项数为n的等差数列，设其第m(m≤n, m?N?)个等差数列的第k项为amk(k?1,2,3,?,n)，且公差为dm. 若d1?1，d2?3，
a1n,a2n,a3n,?,ann也成等差数列．
（Ⅰ）求dm（3≤m≤n）关于m的表达式；
（Ⅱ）将数列{dm}分组如下：(d1)，(d2,d3,d4)，(d5，d6，d7，d8，d9）?， （每组数的个数组成等差数列），设前m组中所有数之和为(cm)(cm?0)，求数列
4{2cmdm}的前n项和Sn；
（Ⅲ）设N是不超过20的正整数，当n?N时，对于（Ⅱ）中的Sn，求使得不等式
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1(Sn?6)?dn成立的所有N的值． 50解（Ⅰ）由题意知，amn?1?(n?1)dm．
a2n?a1n?[1?(n?1)d2]?[1?(n?1)d1]?(n?1)(d2?d1)，同理， a3n?a2n?(n?1)(d3?d2)，a4n?a3n?(n?1)(d4?d3)，?，
ann?a(n?1)n?(n?1)(dn?dn?1)． a1n,a2n,a3n,?,ann成等差数列，
所以a2n?a1n?a3n?a2n???ann?a(n?1)n， 故d2?d1?d3?d2???dn?dn?1.
即{dn}是公差是d2?d1?3?1?2的等差数列．
所以，dm?2m?1（3≤m≤n，m,n?N）． ?????????5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知dm?2m?1 (m?N*)．
数列{dm}分组如下：(1)，(3,5,7)，(9,11,13,15,17)，?． 按分组规律，第m组中有2m?1个奇数，
所以第1组到第m组共有1?3?5???(2m?1)?m个奇数． 注意到前k个奇数的和为1?3?5???(2k?1)?k，
所以前m个奇数的和为(m)?m，即前m组中所有数之和为m，所以(cm)4?m4． 因为cm?0，所以cm?m，从而 2mdm?(2m?1)?2m(m?N*)．
所以 Sn?1?2?3?22?5?23?7?24???(2n?3)?2n?1?(2n?1)?2n.
c2*2222442Sn?1?22?3?23?5?24???(2n?3)?2n?(2n?1)?2n?1，
故?Sn?2?2?2?2?2?2?2???2?2?(2n?1)?2234nn?1
?2(2?22?23???2n)?2?(2n?1)?2n?1
2(2n?1)?2??2?(2n?1)?2n?1?(3?2n)2n?1?6，
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所以 Sn?(2n?3)2n?1?6． ??????????????10分 （Ⅲ）由（Ⅱ）得dn?2n?1 (n?N*)，Sn?(2n?3)2n?1?6 (n?N*).
故不等式
1(Sn?6)?dn 就是(2n?3)2n?1?50(2n?1)． 50考虑函数f(n)?(2n?3)2n?1?50(2n?1)?(2n?3)(2n?1?50)?100． 当n?1,2,3,4,5时，都有f(n)?0，即(2n?3)2n?1?50(2n?1)． 而f(6)?9(128?50)?100?602?0，
注意到当n≥6时，f(n)单调递增，故有f(n)?0. 因此当n≥6时，(2n?3)2n?1?50(2n?1)成立，即
1(Sn?6)?dn成立． 50所以满足条件的所有正整数N?5,6,7,?,20．?????????????14分
6(2011丰台文17)．（本小题共13分）
已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn? （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）在数列{bn}中，b1?5，bn?1?bn?an，求数列{bn}的通项公式． 解
：（
I）
当
n=1
时
，
3an?1(n?N*)． 2a1?3a1?12， ∴
a1=2． ????????2分 当n?2时，
3an?1 ① 23 Sn?1?an?1?1(n?2) ②
2∵Sn?①
-②
得
：
33an?(an?1)?(an?1?1)22，即
an?3an?1， ????????3分
∴ 数列{an}是首项为
2，公比为
3
的等比数
列． ????????4分
∴
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an?2?3n?1． ??????
??6分
（II）∵bn?1?bn?an，
∴当n?2时，bn?bn?1?2?3n?2 ??
b3?b2?2?31
b2?b1?2?30 ???
?????8分
相
加
n?210得
bn?b1?2?(31?3n?1???3?3)?5?2??3n?1?4． ????????11分
1?3（相加1分，求和1分，结果1分） 当
n=1
时
，
31?1?4?5?b1， ????????12分
∴
bn?3n?1?4． ????????13
分
7(2011海淀一模文16). （本小题共13分）
数列{an}的前n项和为Sn，若a1?2且Sn?Sn?1?2n（n?2，n?N*）.
( I )求Sn；
( II ) 是否存在等比数列{bn}满足b1?a1, b2?a3，b3?a9？若存在，则求出数列{bn}的通项公式；若不存在，则说明理由.
解：（I）因为Sn?Sn?1?2n，所以有Sn?Sn?1?2n对n?2，n?N*成立 ………2分 即an?2n对n?2成立，又a1?S1?2?1, 所以an?2n对n?N*成立 …………………3分
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