金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com
所以an?1?an?2对n?N*成立 ，所以{an}是等差数列， …………………4分 所以有Sn?a1?an?n?n2?n ，n?N* …………………6分 2（II）存在. …………………7分 由（I），an?2n，n?N*对成立
所以有a3?6,a9?18，又a1?2， ………………9分 所以由 b1?a1, b2?a3，b3?a9，则
b2b3??3 …………………11分 b1b2所以存在以b1?2为首项，公比为3的等比数列{bn}，
n?1b?2?3n其通项公式为 . ………………13分
8(2011海淀一模文20). （本小题共13分）
已知每项均是正整数的数列a1,a2,a3,?,a100，其中等于i的项有ki个(i?1,2,3?)， 设bj?k1?k2???kj(j?1,2,3?)，g(m)?b1?b2???bm?100m(m?1,2,3?).
1)(2,(),3)(g4()（Ⅰ）设数列k1?40,k2?30,k3?20,k4?10,k5?...?k100?0，求g, (II) 若a1,a2,a3,?,a100中最大的项为50， 比较g(m),g(m?1)的大小； （Ⅲ）若a1?a2???a100?200，求函数g(m)的最小值. 解: (I) 因为数列k1?40,k2?30,k3?20,k4?10， 所以b1?40,b2?70,b3?90,b4?100，
gg ；
100 . …………………3分 所以g(1)??60,g(2)??90,g(3)??100,g(4)?? (II) 一方面，g(m?1)?g(m)?bm?1?100，
根据bj的含义知bm?1?100，
故g(m?1)?g(m)?0，即 g(m)?g(m?1)， ① …………………5分
第 31 页 共 35 页 金太阳新课标资源网
wx.jtyjy.com
金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com
当且仅当bm?1?100时取等号.
因为a1,a2,a3,?,a100中最大的项为50，所以当m?50时必有bm?100， 所以g(1)?g(2)???g(49)?g(50)?g(51)???
即当1?m?49时，有g(m)?g(m?1)； 当m?49时，有g(m)?g(m?1) . …………………7分
（III）设M为?a1,a2,?,a100?中的最大值.
由（II）可以知道，g(m)的最小值为g(M). 下面计算g(M)的值.
g(M)?b1?b2?b3???bM?100M
?(b1?100)?(b2?100)?(b3?100)???(bM?1?100)
?(?k2?k3???kM)?(?k3?k4???kM)?(?k4?k5???kM)???(?kM) ??[k2?2k3???(M?1)kM]
??(k1?2k2?3k3???MkM)?(k1?k2???kM) ??(a1?a2?a3???a100)?bM ??(a1?a2?a3???a100)?100，
∵a1?a2?a3???a100?200 ， ∴g(M)??100，
∴g(m)最小值为?100. …………………13分
9(2011门头沟一模文19).（本小题满分14分）
已知数列{an}满足以下两个条件： ①点(an,an?1)在直线y?x?2上， ②首项a1是方程3x?4x?1?0的整数解， （I）求数列{an}的通项公式；
（II）数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}中，b1?a1，b2?a2，
第 32 页 共 35 页 金太阳新课标资源网
2wx.jtyjy.com
金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com
数列{bn}的前n项和为Tn，解不等式Tn?Sn.
解 （I）根据已知a1?1，an?1?an?2即an?1?an?2?d， 分
所以数列{an}是一个等差数列，an?a1?(n?1)d?2n?1 （II）数列{an}的前n项和Sn?n2
????4分 ????6分
????2
等比数列{bn}中，b1?a1?1，b2?a2?3，所以q?3，bn?3n?1????9分
1?3n3n?1?数列{bn}的前n项和Tn? 1?32 ????11分
3n?1?n2，又n?N*，所以n?1或2 Tn?Sn即2
10(2011石景山一模文20)．（本小题满分14分）
????14分
?已知定义在R上的函数f(x)和数列{an}，a1?a，a2?a1，当n?N且n?2时，
an?f(an?1)，且f(an)?f(an?1)?k(an?an?1)，其中a，k均为非零常数．
（Ⅰ）若数列{an}是等差数列，求k的值；
（Ⅱ）令bn?an?1?an(n?N?)，若b1?1，求数列{bn}的通项公式； （Ⅲ）若数列{an}为等比数列，求函数f(x)的解析式．
解：（Ⅰ）由已知an?f(an?1)，f(an)?f(an?1)?k(an?an?1)(n?2,3,4,???)，
得an?1?an?f(an)?f(an?1)?k(an?an?1) (n?2,3,4,???)． 由数列{an}是等差数列，得an?1?an?an?an?1(n?2,3,4,???)． 所以，an?an?1?k(an?an?1)，(n?2,3,4,???)，
所以k?1． ??????4分 （Ⅱ）由b1?a2?a1?0，可得b2?a3?a2?f(a2)?f(a1)?k(a2?a1)?0.
且当n?2时，
bn?an?1?an?f(an)?f(an?1)?k(an?an?1)?????kn?1(a2?a1)?0．
所以，当n?2时，
第 33 页 共 35 页 金太阳新课标资源网
wx.jtyjy.com
金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com
bna?af(an)?f(an?1)?n?1n??k， ?????7分 bn?1an?an?1an?an?1因此，数列{bn}是一个首项为b1，公比为k的等比数列． 所以 数列{bn}的通项公式是bn?b1kn?1?kn?1(n?N?)．????????8分
（Ⅲ）若{an}是等比数列，由（Ⅱ）知，bn?kn?1(a2?a1)(n?N?)，
b1?b2???bn?1?(a2?a1)?(a3?a2)???(an?an?1)?an?a1(n?2)， an?a1?(b1?b2?????bn?1)． ????????????????10分
当k?1时，an?a1?(a2?a1)(n?1)(n?2)． 上式对n?1也成立，所以，数列{an}的通项公式为：
an?a?(f(a)?a)(n?1)(n?N?)．
所以，当k?1时，数列{an}是以a为首项，f(a)?a为公差的等差数列． 所以，k?1． ??????????????????????????12分
1?kn?1(n?2)． 当k?1时，an?a1?(a2?a1)1?k上式对n?1也成立，
1?kn?1f(a)?a(f(a)?a)kn?1?a??所以 an?a?(f(a)?a) 1?k1?k1?k所以 a?f(a)?a?0?f(a)?ka．
1?k所以 等式f(a)?ka对于任意实数a均成立．
所以 f(x)?kx(k?1)． ?????????????????????14分
第 34 页 共 35 页 金太阳新课标资源网
wx.jtyjy.com
金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com
第 35 页 共 35 页 wx.jtyjy.com 金太阳新课标资源网