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解：（1）由题意，得
Sn?n?4，即Sn?n2?4n． n2故当n?2时，an?Sn?Sn?1?n?4n-(n?1)2?4(n?1)=2n?3． 注意到n?1时，a1?S1?5，而当n?1时，n?4?5，
所以， an?2n?3(n?N*)． ???????????????3分
又bn?2?2bn?1?bn?0，即bn?2?bn?1?bn?1?bn(n?N*)，
11(b4?b8)?154． 220?8?3， 而b4?8，故b8?20，d?4因此，bn?b4?3(n?4)?3n?4，
所以?bn?为等差数列，于是
即bn?b4?3(n?4)?3n?4(n?N*)．??????5分
33?
2(an?2)(2bn?5)2[(2n?3)?2][2?(3n?4)?5]311?==． 2(2n?1)(6n?3)2(2n?1)(2n?1)2(2n?1)(2n?1)11111111?)] 所以，Tn?c1?c2???cn=[(1?)?(?)?(?)?...?(4335572n?12n?111n)?=(1?． ???????????????8分
42n?14n?2n?1n1???0 由于Tn?1?Tn?4n?64n?2(4n?6)(2n?1)1因此Tn单调递增，故(TN)min?．
61k1令?，得k?12，所以kmax?12． ?????????????10分 6752*??2n?3(n?2l?1,l?N)（3）f(n)?? *??3n?4(n?2l,l?N)① 当m为奇数时，m?9为偶数．
此时f(m?9)?3(m?9)?4?3m?23 3f(m)?6m?9
14?N* (舍去) ?????????????所以3m?23?6m?9, m?3（2）cn?12分
② 当m为偶数时，m?9为奇数．
此时，f(m?9)?2(m?9)?3?2m?21,3f(m)?9m?12，
33?N*（舍去）． 7综上，不存在正整数m，使得f(m?9)?3f(m)成立．
所以2m?21?9m?12，m??????????????14分
54（2011西城一模文17）. （本小题满分13分）
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已知{an}是公比为q的等比数列，且a1?2a2?3a3. （Ⅰ）求q的值；
（Ⅱ）设{bn}是首项为2，公差为q的等差数列，其前n项和为Tn. 当n?2时，试比
较bn与Tn的大小.
解：（Ⅰ）由已知可得a1?2a1q?3a1q2， ????????2分
因为{an}是等比数列，所以3q2?2q?1?0. ????????3分
解得q?1或q??5分
1. ????????3n2?3n（Ⅱ）①当q?1时，bn?n?1，Tn?， ????????7
2分
n2?n?2?0. 所以，当n?2时，Tn?bn?2即当q?1时，Tn?bn(n?2). ????????8分
②当q??时，bn?2?(n?1)(?)?分
13?37?n， ????????93n?13n?n2Tn?2n?(n?1)(?)?， ????????10
236分
Tn?bn??分
(n?1)(n?14)， ????????12
6所以，当n?14时，Tn?bn；当n?14时，Tn?bn；
当2?n?14时，Tn?bn. ????????13
分
综上，当q?1时，Tn?bn(n?2).当q??时，若n?14，Tn?bn；若n?14，
13Tn?bn；若2?n?14，Tn?bn.
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2（2011朝阳一模理20）．（本小题满分14分）
有n个首项都是1的等差数列，设第m个数列的第k项为
2,3n,≥n,，公差为,amk(m,k?1,?dm，并且a1n,a2n,a3n,?,ann成等差数列．
（Ⅰ）证明dm?p1d1?p2d2 （3≤m≤n，p1,p2是m的多项式），并求p1?p2的值； （Ⅱ）当d1?1, d2?3时，将数列{dm}分组如下：
(d1), (d2,d3,d4), (d5,d6,d7,d8,d9),?(每组数的个数构成等差数列)．
设前m组中所有数之和为(cm)4(cm?0)，求数列{2mdm}的前n项和Sn． （Ⅲ）设N是不超过20的正整数，当n?N时，对于（Ⅱ）中的Sn，求使得不等式
c1(Sn?6)?dn成立的所有N的值． 50解：（Ⅰ）由题意知amn?1?(n?1)dm．
a2n?a1n?[1?(n?1)d2]?[1?(n?1)d1]?(n?1)(d2?d1)，
同理，a3n?a2n?(n?1)(d3?d2)，a4n?a3n?(n?1)(d4?d3)，?， ann?a(?n1)n?(n?1)(d?dn1．) n?又因为a1n,a2n,a3n,?,ann成等差数列，所以a2n?a1n?a3n?a2n???ann?a(n?1)n. 故d2?d1?d3?d2???dn?dn?1，即{dn}是公差为d2?d1的等差数列． 所以，dm?d1?(m?1)(d2?d1)?(2?m)d1?(m?1)d2．
令p1?2?m,p2?m?1，则dm?p1d1?p2d2，此时p1?p2?1． ????4分 （Ⅱ）当d1?1, d2?3时，dm?2m?1 (m?N*)．
数列{dm}分组如下：(d1), (d2,d3,d4), (d5,d6,d7,d8,d9),?． 按分组规律，第m组中有2m?1个奇数，
所以第1组到第m组共有1?3?5???(2m?1)?m个奇数． 注意到前k个奇数的和为1?3?5???(2k?1)?k， 所以前m个奇数的和为(m)?m.
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即前m组中所有数之和为m，所以(cm)4?m4．
因为cm?0，所以cm?m，从而 2mdm?(2m?1)?2m(m?N*)． 所以 Sn?1?2?3?22?5?23?7?24???(2n?3)?2n?1?(2n?1)?2n.
c42Sn?1?22?3?23?5?24???(2n?3)?2n?(2n?1)?2n?1.
故?Sn?2?2?22?2?23?2?24???2?2n?(2n?1)?2n?1
?2(2?22?23???2n)?2?(2n?1)?2n?1
2(2n?1)?2??2?(2n?1)?2n?1?(3?2n)2n?1?6.
2?1所以 Sn?(2n?3)2n?1?6． ?????????????9分 （Ⅲ）由（Ⅱ）得dn?2n?1 (n?N*)，Sn?(2n?3)2n?1?6 (n?N).
故不等式
*1(Sn?6)?bn 就是(2n?3)2n?1?50(2n?1)． 50考虑函数f(n)?(2n?3)2n?1?50(2n?1)?(2n?3)(2n?1?50)?100．
n?1当n?1,2,3,4,5时，都有f(n)?0，即(2n?3)2?50(2n?1)．
而f(6)?9(128?50)?100?602?0，
注意到当n≥6时，f(n)单调递增，故有f(n)?0. 因此当n≥6时，(2n?3)2n?1?50(2n?1)成立，即
1(Sn?6)?dn成立． 50 所以,满足条件的所有正整数N?5,6,7,?,20． ??????????14分
3(2011海淀一模理20). （本小题共13分）
已知每项均是正整数的数列A：其中等于i的项有ki个(i?1,2,3???)， a1,a2,a3,?,an，设
bj?k1?k2???kj (j?1,2,3?)，
g(m)?b1?b2???bm?nm
(m?1,2,3???).
（Ⅰ）设数列A:1,2,1,4，求g(1),g(2),g(3),g(4),g(5)；
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（Ⅱ）若数列A满足a1?a2???an?n?100，求函数g(m)的最小值. 解：（1）根据题设中有关字母的定义，
k1?2,k2?1,k3?0,k4?1,kj?0(j?5,6,7?)
b1?2,b2?2?1?3,b3?2?1?0?3,b4?4,bm?4(m?5,6,7,?)
g(1)?b1?4?1??2g(2)?b1?b2?4?2??3,g(3)?b1?b2?b3?4?3??4,g(4)?b1?b2?b3?b4?4?4??4,g(5)?b1?b2?b3?b4?b5?4?5??4.
（2）一方面，g(m?1)?g(m)?bm?1?n，根据“数列A含有n项”及bj的含义知bm?1?n， 故g(m?1)?g(m)?0，即g(m)?g(m?1) ① ???????7分 另一方面，设整数M?max?a1,a2,?,an?，则当m?M时必有bm?n， 所以g(1)?g(2)???g(M?1)?g(M)?g(M?1)??
所以g(m)的最小值为g(M?1). …………………9分 下面计算g(M?1)的值：
???????5分
g(M?1)?b1?b2?b3???bM?1?n(M?1)
?(b1?n)?(b2?n)?(b3?n)???(bM?1?n)
?(?k2?k3???kM)?(?k3?k4???kM)?(?k4?k5???kM)???(?kM) ??[k2?2k3???(M?1)kM]
??(k1?2k2?3k3???MkM)?(k1?k2???kM) ??(a1?a2?a3???an)?bM
??(a1?a2?a3???an)?n …………………12分
∵a1?a2?a3???an?n?100 ， ∴g(M?1)??100,
∴g(m)最小值为?100. …………………13分
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