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（I）求a1,a2,a3的值；（II）设bn?an?1，求证：数列{bn}是等比数列；（III）设
*，如果对任意n?N，都有cn?cn?bn?(n?n2) （n?1,2,3...）
t，求正整数t的最小值. 5解：（I）由已知可得
1 .......1分 23 a1?a2?2?a2，得a2? ....2分
47a1?a2?a3?3?a3，得a3? ....3分
8 a1?1?a1，得a1? （II）由已知可得：Sn?n?an ?n?2时，Sn?1?(n?1)?an?1
?n?2时，an?Sn?Sn?1?1?an?an?1 ?.4分
得an?11an?1? .....5分 22111?n?2时，an?1?an?1??(an?1?1) ?.6分
22211即n?2时，bn?bn?1，b1?a1?1???0 ...7分
2211?数列{bn}是等比数列，且首项为?，公比为......8分
221 （III）由（II）可得，bn??n .....9分
2n2?n ....10分 ?cn?bn?(n?n)?2n2(n?1)2?(n?1)n2?nn(3?n)?? .....11分 ?cn?1?cn?n?1nn?1222?c1?c2?c3?c4?c5?? ?cn有最大值c3?c4?3 ....12分 43tt*对任意n?N，都有cn?，当且仅当?， ...13分
54515即t?，故正整数t的最小值是4. ....14分
4
45.（2011年东城区示范校考试文16）在等比数列｛an｝中，an?0,(n?N)，公比
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（1）求数列｛an｝的 q?(0,1)，且a1a5?2a3a5?a2a8?25， a3与a5的等比中项为2．通项公式；（2）设bn?log2an ，数列｛bn｝的前n项和为Sn，当最大时，求n的值。
22解：（1）因为a1a5 + 2a3a5 +a 2a8＝25，所以，a3 + 2a3a5 +a5＝25
SS1S2S3?????n 123n又an＞o，?a3＋a5＝5，???????3分
又a3与a5的等比中项为2，所以，a3a5＝4
而q?（0,1），所以，a3＞a5，所以，a3＝4，a5＝1，q?1，a1＝16，所以， 2?1?an?16????2?n?1?25?n?????6分
（2）bn＝log2 an＝5－n，所以，bn＋1－bn＝－1，
所以，{bn}是以4为首项，－1为公差的等差数列 8分
n(9?n)Sn9?n,? ????10分 2n2SSS所以，当n≤8时，n＞0，当n＝9时，n＝0，n＞9时，n＜0，
nnnSSS当n＝8或9时，1?2?????n最大。 ???13分
12n所以，Sn?46.（2011年东城区示范校考试理19）设数列?an?的前n项和为Sn，且 Sn?n2?4n?4． （1）求数列?an?的通项公式；（2）设bn?an1?Tn?1．，数列的前项和为，求证： Tnb??nn2n4解：当n?1时，a1?S1?1． ?1分 当n?2时，an?Sn?Sn?1
?n2?4n?4??n?1??4?n?1??4
2???2n?5． ??3分
∵a1?1不适合上式, ∴an??
n?1,?1, 4分
?2n?5,n?2.
?1,n?1an??2（2）证明: ∵bn?n??．
2n?52?,n?2??2n第 12 页 共 35 页 金太阳新课标资源网
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1, 21?112n?5当n?2时，Tn??2?3???, ① n222211?112n?72n?5Tn?2?3?4????n?1． ② 22222n2当n?1时，T1?①－②得:
112112n?5Tn??2?2(3???n)?n?1 222222112n?5 ?(1?n?2)?n?1
2222n?1(n?2)， ?8分 得Tn?1?2n此式当n?1时也适合．
2n?1(n?N*)． ∴Tn?1?n22n?1*?0(n?Ν)， ∵n2
∴Tn?1． 10分 当n?2时，Tn?1?Tn?(1?2n?12n?12n?3)?(1?)?n?1?0， 2n?12n2∴Tn?Tn?1(n?2)． 12分 ∵T1?131,T2?1??， 244∴T2?T1． 故Tn?T2，即Tn?11(n?N*)．综上，?Tn?1(n?N*)． 14分 4447.（2011年东城区示范校考试文20）设C1,C2,?,Cn,?是坐标平面上的一列圆，它们的 圆心都在x轴的正半轴上，且都与直线y?3x相切，对每一个正整数n,圆Cn都与圆Cn?1 3相互外切，以rn表示Cn的半径，已知{rn}为递增数列．（1）证明：{rn}为等比数列；（2） 设r1?1，求数列{}的前n项和．
nrn解：（Ⅰ）将直线y=
3x的倾斜角记为? ， 3第 13 页 共 35 页 金太阳新课标资源网
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则有tan? =
13，sin? = ．????．1分
23设Cn的圆心为（?n，0），则由题意知
?n1
= sin? = ，
2?n得?n = 2?n ； ??? ????．3分
同理?n?1?2?n?1，依题意知?n?1??n??n??n?1?2?n?1 5分 将?n = 2?n代入，
解得 rn+1=3rn．
故{ rn }为公比q=3的等比数列． ???7分 （Ⅱ）由于r1=1，q=3，故rn=3，从而
n-1
nr =n·31?n，?? 9分
n记Sn=
12n???， ?1?2?n-1
-2
则有 Sn=1+2·3+3·3+???+n·31?n． ①
Sn-1-21?n?n=1·3+2·3+???+（n-1） ·3+n·3． ② 11分 3①-②，得
2Sn-1 -21?n?n=1+3+3+???+3-n·3 ?12分 31?3?n?n=- n·3
23=
2 3 ?n
–（n+）·3?????13分329 13 1?nSn=– （n+）·3． ??14分
422248.（2011年丰台区期末文20）已知函数f(x)?ax?bx(a?0)的导函数
f?(x)??4x?22，数列{an}的前n项和为Sn，点P均在函数y?f(x) ，Sn)（n?N*）n(n的图象上．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式an及前n项和Sn；（Ⅱ）存在k?N，使得
*SS1S2*????n?k对任意n?N*恒成立，求出k的最小值；（Ⅲ）是否存在m?N， 12n第 14 页 共 35 页 金太阳新课标资源网
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使得
am?am?1为数列?an?中的项？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
am?2解：（Ⅰ）因为 f(x)?ax2?bx(a?0)，所以 f?(x)?2ax?b．
因为 f?(x)??4x?22， 所以a??2，b?22． 所以f(x)??2x2?22x． ???1分 因为 点Pn(n,Sn)（n?N）均在函数y?f(x)的图象上， 所以 Sn??2n2?22n． ?2分
当n?1时，a1?S1?20， ???3分 当n?2时，an?Sn?Sn?1??4n?24，
所以 an??4n?24 （n?N）． ??4分 （Ⅱ）存在k?N，使得
只要k?(***SS1S2????n?k对任意n?N*恒成立． 12nSS1S2????n)max 12n由（Ⅰ）知Sn??2n2?22n， 所以
Sn??2n?22?2(11?n)． nSSS当n?11时，n?0； 当n?11时，n?0； 当n?11时，n?0；
nnnSSS所以 当n?10或n?11时，1?2???n有最大值是110．
12n所以 k?110，
又因为 k?N，
所以k的最小值为111． ???8分
*（Ⅲ）存在m?N，使得
*am?am?1为数列?an?中的项．
am?2由（Ⅰ）知 an?24?4n，
所以 am?24?4m，am?1?20?4m，am?2?16?4m，
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