高等数学(Ⅰ)练习 第三章 一元函数积分学
系 专业 班 姓名 学号 习题一 不定积分的概念与性质
一、选择题：
1、设[f(x)dx]??sinx，则f(x)? [ A ] （Ａ）sinx （Ｂ）sinx＋C (Ｃ) cosx （Ｄ）cosx＋C 2、若
??f(x)dx?x2e2x?c，则f(x)? [D ]
2x22x2x（Ａ）2xe （Ｂ）2xe （Ｃ）xe （Ｄ）2x(1?x)e2x 3、下列函数是函数2ecosx的原函数的为 [ A ] （Ａ）ex(cosx?sinx) （Ｂ）ex(cosx?sinx) （Ｃ）esinx （Ｄ）?esinx
xxx2lncos2x，则k等于 [ C ] 32343（A）? （B） （C）? （D）
24334、设f(x)?ktan2x的一个原函数为
5、下列关系式正确的是 [ C ] （A）d[f(x)dx]?f(x) （B）（C）
??f?(x)dx?f(x)
df(x)dx?f(x) （D）[?f(x)dx]??f(x)?C ?dx二、填空题：
e2x?1e?xxex?x?Cx? Cdx? 2、?e(1?1、?x ? 2 x )dx= ee?1xln|x|?arctanx?Cx2?x?13、?= 4、?cscx(cotx?cscx)dx= cot x ? csc x ? C dx2x(x?1)5、设
?f(x)dx?3e1?x3?C，则f(x)? ?e1?x3三、解下列各题：
12?3x?5?2x(1?dx1、? 2、?x2)xxdx
3?5xxxxx?3??2??3??2? xx?5??5?2?3?5?2?2?5?255?5????????? 原式=???dx????dx???C???C323?5?3?5?333?ln3?ln5?3?ln2?ln5?lnln
553571??4444x 4 ? 原式 ? ? x dx ? ? x dx ? x ? 4 C49
73、
?1?x21?x4dx 4、?cos2xdx 22cosxsinx1
原式?dx2 1?x ?arcsinx?C
?cos2x?sin2x原式??dxcos2xsin2x11??dx??cos2xdxsin2x??cotx?tanx?C5、若f(sin2x)?cos2x?cot2x，求
2?f(x)dx
1?t,cos2x?cos2x?sin2x?1?2t. t解：令sin2x?t,则cosx?1?t,cotx?2即f?x??
11?2x,从而：?f?x?dx???2xdx?lnx?x2?C. xx4、一曲线通过点(e2,3)且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数，求该曲线方程。 解：设曲线方程为y?f?x?,则依题意有：f??x??11,故f?x???dx?lnx?C, xx2又因为曲线经过点e,3.?C?1. 因此，所求曲线方程为f?x??lnx?1.
??
5、一物体由静止开始运动，经过t秒后的速度是3t(m/s)，问： （1）在3秒后物体离开出发点的距离是多少？ （2）物体走完360m需要多少时间？
解：设路程与时间t的函数关系为s?f?t?,依题意有f'?t??3t,从而，
22 f?t???f??t?dt??3t32dt?t3?C.又当t?0时，s?0,?C?0.
即f?t??t,
?1?: f?3??33?27m. ?2?: 依题意有 360?t3,
50
?t?2345s.
高等数学(Ⅰ)练习 第三章 一元函数积分学
系 专业 班 姓名 学号 习题二 不定积分的第一类换元法（一）
一、选择题： 1、
?dx1?2x= [ B ]
(A)1?2x?C （B）?1?2x?C （C）?2、设b?0，则
11?2x?C （D）?21?2x?C 2xdx?a?bx2= [ B ]
112ln|a?bx2|?C （Ａ）ln|a?bx|?C （Ｂ）
22b1b22（Ｃ）ln|a?bx|?C （Ｄ）ln|a?bx|?C
b23、若
?f(x)dx?F(x)?C,则?f(2x?1)dx? [ B ]
11F(2x?1)?C (C) F(x)?C (D) 2F(x)+C 22(A) 2F(2x?1)+C (B) 4、若
?f(x)dx?x2?C，则?xf(1?x2)dx? [ D ]
2222（Ａ）(1?x)?C （Ｂ）－(1?x)?C （Ｃ）
11(1?x2)2?C （Ｄ）－(1?x2)2?C 22二、填空题：
11?11?21、3dx? 2 d2 2、xdx? 2 d(1?x)
xx1xdx34? ?3、xdx? 12 d(3x?2) 4、 d1?x2
1?x211arcsin3x?Cdx1?ln|2?3x|?C3 dx = 5、?= 3 6、?2?3x1?9x211?bx3tan(ax)?e?C122(1?3x)?Cab2?bx27、?x1?3xdx= 9 8、?(secax?e)dx=
1?x??C?x?x?sin(e)?C3sin3x9、?csc3xcot3xdx= 10、?ecosedx=
1111cos?Clndx= ln11、?2sindx= x 12、? | x | ? C
xxlnxx 51
三、计算下列各题：
23421、x(2x?3)dx 2、tan(3x)dx
?? 16?(2x3 ??3)4d(2x3?3) 1 ?30(2x3?3)5?C
3、?sin3xdx ???sin2xdcosx
???(1?cos2x)dcosx cosx?cos3x ??3?C
5、
?1?x4?9x2dx ?
?14?9x2dx??x4?9x2dx ?1d(3x)?21d(4?9x2 33??)2184?9
1?(x22x) ?13arcsin(32x)?194?9x2?C7、
?dxx(1?2lnx)2 ?dlnx ?(1?2lnx)2 ?1?d(2lnx?1)2(1?2lnx)2
??1?C
2(1?2lnx)
?13?tan2(3x)d(3x)?13?(sec2(3x)?1)d(3x)?13tan(3x)?x?C4、?tan3xsecxdx
??tan2xdsecx??(sec2x?1)dsecx?sec3x3?secx?C6、?cos4xdx
1?cos(2??(2x)2)dx?14?[1?2cos(2x)?1?cos(4x)2]dx?38x?14sin(2x)?132sin(4x)?C 8、?arctanxx(1?x)dx
?2?arctanx1?xdx?2?arctanxdarctanx?(arctanx)2?C 52
高等数学(Ⅰ)练习 第三章 一元函数积分学
系 专业 班 姓名 学号 习题三 不定积分的第一类换元法（二）
一、选择题：
?xf?(lnx)f(x)?edx= [ C ] 1、设，则?x(A)?11?C (B)?lnx?C (C)?C (D)lnx?C
xx22、设f?(x)?1，则f(x)= [ B ] x2(A)2x?C (B)2x?C (C)x?C (D)
1x?C
3、经过变量代换x?tant，则
?1?x2dx= [ B ]
sect3?secdt （D）?tdt ?1?t23（A）sectdt （B）sectdt （C）
??4、
?dx9x?12= [ C ]
（A）ln|3x?9x2?1|?C （B）ln|3x?9x2?1|?C （C）
11ln|3x?9x2?1|?C （D）ln|3x?9x2?1|?C 335、设f?(lnx)?1?x，则f(x)? [ C ]
lnxx2e2xxx(2?lnx)?C （B）x??C （C）x?e?C （D）e??C （A）222二、填空题： 1、
32(x?3)2?6x?3?Cdx= 3 2、
?xx?3xdxx?ln|1?e|?C?1?ex?
3、
?x14?x212?4?x2ln||?Cdx= 2 x 4、?dxx2x2?a2x2?a2??C= a 2 x
5、
?x?11dxx2?1arcsin()?Cx2?1?arccos?C | 6、?= 2 dx= | xx3?2x?x2 53