高等数学(Ⅰ)练习 第三章 一元函数积分学
系 专业 班 姓名 学号 习题十六 综合练习
一、选择题：
snix1、设M??2cos??1?x22??4???xdx，N??2?(sin3x?cos4x)dx，P??2?(x2sin3x?cos4x)dx，
22则有 [ D ]
（A）N?P?M （B）M?P?N （C）N?M?P （D）P?M?N 2、设?(x)??5x0sinxsintdt，?(x)??(1?t)tdt，则当x?0时，?(x)是?(x)的 [ C ]
0t1（A）高阶无穷小 （B）低阶无穷小 （C）同阶但不等价的无穷小 （D）等价无穷小
dxcos(x?t)dt，则f(x)? [ A ] 3、若f(x)=
dx?0（A）cosx （B）2cosx?1 （C）?cosx （D）1?cosx
xxf(t)dt，其中f(x)为连续函数，则limF(x)= [ B ] 4、设F(x)??ax?ax?a（A）a （B）af(a) （C）f(a) （D）0 5、F(x)??x0e?tsintdt在[0,2?]内 [ B ]
（A）有极大值F(?)，最大值F(2?) （B）有极大值F(?)，最小值F(0) （C）有极小值F(?)，无极大值 （D）有极小值F(?)，最大值F(0)
dxtf(x2?t2)dt? [ A ] 6、设f(x)连续，则?dx0（A）xf(x) （B）?xf(x) （C）2xf(x) （D）?2xf(x) 二、填空题： 1、
2222?2?0 2、?tcostdt= 0?2x?|x|dx=
?11?x21ln23、设f(x)有一个原函数tanx，则
??xf?(x)dx=
4?4??2124、设f(x)为[0,??)上的连续函数，且
?x(1?x2)0f(t)dt?x2，则f(2)?
13]上的平均值为 5、函数y?在区间[,2221?x 79
x2(1?3)?126、lim?x0(arctanx)2dxx2?1x????= 4 三、计算题： 1、
?1?1(x?1?x2)2dx 2、?3dxx21222 ???1(x?2x1?x?1?x)dx1 ?
?1?1dx??2x1?x2dx?2?11??,).则dx?sec2tdt,22??当x?1时，t?,当x?3时，t?43?sec2tdt3原式???2sect?tant4解：令x?tant,t?(????3?41?x2
costdt142?[]?2?3?2sint33sint?3、Jm???0xsinmxdx （m为自然数）
?解：Jm??2?0?sinmxdx
令Im??0sinmxdx即Jm??2Im,而
?m?1Im???sinm?1xdcosx?[?cosx?sinm?1x]?x 0??cosxdsin00? =(m?1)??0cosx?sin2m?2xdx?(m?1)?(sinm?2x?sinmx)dx
0? =(m?1)Im?2?(m?1)Im， 即Im?m?1I mm?2.因此I2m?2m?12m?31??I 2m2m?220.2m2m?22??I
2m?12m?131. I2m?1?又I0??;I1.?2.故
80
m?1m?31?2???; 所以，当m为偶数时，Jm?mm?222当m > 1的奇数时, Jm? 当m = 1时,Jm?? 四．证明不等式
12?dx???? 0421?x4mm?22???. m?1m?13证明：因为
??101dx1?x40??1dx((1?x)?(1?x)1220，故
1dx2(1?x)dx2(1?x2)20??dx1?x40??1dx1?x20 而
??2?, 4
?1dx1?x20??2所以 命题得证。
12?dx???? 0421?x4 81