高等数学(Ⅰ)练习 第三章 一元函数积分学
系 专业 班 姓名 学号 习题六 综合练习（一）
一、选择题
1、若f(x)?f?(x)，且f(x)?0，则f(x)= [ D ] （A）x （B）lnx （C）1 （D）e 2、函数F(x)?x?f(2x?1)dx的导数为 [ A ]
（A）f(2x?1) （B）f(2x?1)?1 （C）f(x) （D）2f(2x?1) 3、若
?f(x)dx?F(x)?C,则当a?0时，?x2f(ax3?b)dx= [ C ]
（A）3aF(ax3?b)?C （B）3F(ax3?b)?C （C）
11F(ax3?b)?C （D）F(ax3?b)?C
33a?3x4、设e是f(x)的一个原函数，则xf?(x)dx= [ D ]
?3x?（A）3xe（C）3xe?e?3x?C （B）?3xe?3x?e?3x?C ?e?3x?C （D）?3xe?3x?e?3x?C
?3x1ln(1?)xdx? [ A ] 5、?x(x?1)12111ln(1?)?C （B）(1?)ln(1?)?C 2xxx11（C）lnln(1?)?C （D）xln(1?)?C
xx（A）?二、填空题
11?cos2x2?Ctan2x?ln|cosx|?C31、?xsin2xdx= 4 2、?tanxdx? 21xarctanx?x?arctanx?C?5cosx?sin3x?C3、?arctanxdx= 4、?(5sinx?cos3x)dx= 3
12xe?C25、若f?(lnx)?x(x?1)，则f(x)= 2 2 59
6、若
?ln|cscx?cotx|?Cf(x)cosxdx?ln(sinx)?C，则?f(x)dx=
三、计算题 1、
dxxarctanx 2、?sin2xcosx?1?x2dx
解：原式?
sin2x?cos2x?sin2xcosxdx解：原式??arctanxd1?x2?1?x2arctanx??11?x2??secxdx??cscxcotxdx?ln|secx?tanx|?cscx?Cdx?1?x2arctanx?ln(1?x2?x)?Ca2?x23、?dx 4、?x2e?3xdx
x112??解：原式???x2de?3x??x2e?3x??xe?3xdx解：令x?asint,t?(?,).则dx?acostdt 3332212 ?acost?acostdt??x2e?3x??xde?3x原式?asint39 12?3x2?3x2?3x1?sin2t??xe?xe??edx?a?dt?a?(csct?sint)dt399 sint12?3x2?3x2?aln|csct?cott|?acost?C??xe?xe??e?3xd(?3x)
392722(a?a?x)12?3x2?3x2?3x? aln||?a2?x2?C??xe?xe?e?Cx3927
x25、设f(x?1)?ln2，且f(?(x))?lnx，求??(x)dx
x?22x?1?1x?12 解：因为f(x?1)?ln,?f(x)?ln.2x?1?1x?1
所以f(?(x))?ln?(x)?1?lnx,??(x)?x?1?1?2.?(x)?1x?1x?1
2
从而??(x)dx??(1?)?x?2ln|x?1|?C x?12
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高等数学(Ⅰ)练习 第三章 一元函数积分学
系 专业 班 姓名 学号 习题七 综合练习（二）
一、选择题：
1．若ln|x|是函数f(x)的原函数，那么，f(x)的另一个原函数是 [ A ] （A）ln|ax| （B）ln|x?a| （C）2．sin11ln|ax| （D）(lnx)2 a22?3xdx= [ D ] 22322232（A）cosx?C （B）cosx?C （C）?cosx?C （D）?cosx?C
332333233．
?1?xdx? [ B ] 1?x（A）x?cosx?C （B）arcsinx?1?x2?C （C）arcsinx?1?x2?C （D）arccosx?1?x2?C 二、填空题：
1．设xf(x)dx?arcsinx?C，则
323122dx(1= ? 3 ? x ) ? C
f(x)??4(2?5x)2(2?5x)??2．?x2?5xdx= 75 ? C 1251tan3x?tanx?x?C43．?tanxdx= 3 21?()x13?Cln2x3xdx= 24．?x (ln 2 ? 3 ) 2 lnx1?()x9?431x3arctan3?C3x23aadx5．?6= 6a?x6．
52?xx?12x2?11x2?1arccos??Cdx= | x | x11ln|x|?ln|2?x10|?C= 2 20
7．
dx?x(2?x10)三、计算题：
61
dxarctanx 2、?sin2x?2sinx?x2(x2?1)dx
11解：原式??(2?)arctanxdxx2 解：令tan?u,则x1?x2 12???arctanxd()??arctanxd(arctanx)2u1?u2 sinx?,cosx?,dx?dux2221?u1?u1?u 11122??arctanx?arctanx??x(1?x2)dx 原式?11?udu?1ln|u|?1u2?Cx2?1、
4u48 ?14ln|tanx2|?1x8tan22?C
3、?x3ex2dx 解：原式?1?x2dex2
2 ?1x221x22
2ex?2?edx ?1x2ex2?1ex2?C 22 5、
?lnsinxsin2xdx 解：原式???lnsinxd(cotx)
??cotxlnsinx??cotxcosx
sinxdx ??cotxlnsinx??cot2xdx
??cotxlnsinx??(csc2x?1)dx ??cotxlnsinx?cotx?x?C
??1xarctanx?12arctan2x??(1xx?1?x2)dx??1xarctanx?12arctan2x?ln|x|?12ln(1?x2)?C 4、?dxx(4?x)
解：原式??14?(x?2)2dx??d(x?2)4?(x?2)2?arcsinx?22?C 6、?dx(2x2?1)x2?1
解：令x?tant,t?(??2,?2),?dx?sec2tdt,原式??sec2t(2tan2t?1)sectdt??cost1?sin2tdt??dsint1?sin2t?arctan(sint)?C?arctanx1?x2?C62
高等数学(Ⅰ)练习 第三章 一元函数积分学
系 专业 班 姓名 学号 习题八 定积分的概念与性质
一、选择题：
?1?1、limlnn?1??n???n?（A）
22???n?1?????1??= [ B ] ?n??n?22222?ln122xdx （B）2?lnxdx （C）?ln(1?x)dx （D）2?ln(1?x)dx
11212、设函数f(x)在[a,b]上连续，则曲线y?f(x)与直线x?a,x?b,y?0所围成的平面图形的面积等于 [ C ] （A）
?baf(x)dx （B）?baf(x)dx （C）?f(x)dx （D）f?(?)(b?a)(a???b)
ab3、设定积分I??1x41?x0dx，则I的值 [ A ]
（A）0?I??1221 （B）?I?1 （C）?I? （D）I?1
52105?0?04、设I1??40xdx，I2??4xdx，I3??4sinxdx，则 [ D ]
（A）I1?I2?I3 （B）I3?I1?I2 （C）I1?I3?I2 （D）I2?I1?I3 二、填空题：
1、利用定积分的几何意义，填写下列定积分的结果： （1）
?20?? 4?xdx= （2）?sinxdx= 02??0??（3）
??cosxdx= 22?2?20cosxdx （4）?(x?1)dx=
?2?42、利用定积分的性质，填写下列各题： （1） 6 ??412??3(1?x)dx? 51 （2） 9 ??1xarctanxdx? 3 233、利用定积分的性质，比较下列各题两各积分的大小（填写 ? 或 ?） （1）（3）
?101x2dx ?
x?101x3dx （2）?lnxdx ?
12?21(lnx)2dx
??e0dx ? ?230?(x?1)dx （4）?01?xdx ? 2?2301?sin2xdx
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