7、
?dxx?x? 8、?2ln(1?x)?Cx2?1x1?x4dx=
三、计算题： 1、
?1?dx2x 2、
11ln(x2?1?x4)?ln(1?x4?1)?ln|x|?C22dx?(x?1)23
t2解：令2x?t,则x?,dx?tdt. 2 1原式?(1?)dt 1?t t?ln(1?t)?C? ?2x?ln(1?2x)?C
解：令x?tant,t?(???,),则dx?sec2t.22?sec2t原式??dt??costdtsec3t?sint?C?x1?x2?C11?x23、
?x2dxa?x22 4、
解：令x?asint,t?(????1?dx
则dx?acostdt.
a2sin2t?acostdt
原式?acost
1?cos(2t) ?a2dt 2 a2a2sint?cost?t??C 22 a2xx2?arcsin?a?x2?C
,),22??,),则dx?costdt,22costdt1原式????(1?)dt1?cost1?cost1dtt?t???t?tan?Ct22cos2211?x2?arcsinx???Cxxtsint1?cost注：tan??21?costsintdx解：令x?sint,t?(???2a25、
?dx1?ex 6、
?x2x?12
解：令1?ex?t,则x?ln(t2?1)，dx?
211原式 ?2dt??dtt?1t?1t?1
?ln( t?1)?ln(t?1)?C?ln( 1?ex?1)?ln(1?ex?1)?C
??2t??dt.解：令x?sect,t?(?,0)?(0,).2t?122则dx?sect?tantdt,sect?tantdt原式???costdtsec2t?tant??sint?C?x2?1?Cx 54
高等数学(Ⅰ)练习 第三章 一元函数积分学
系 专业 班 姓名 学号 习题四 不定积分的分部积分法
一、选择题：
x?2dx= [ C ]
xxxx（A）xln?2x?C （B）xln?4x?C （C）xln?x?C （D）xln?x?C
22221、ln2、xf??(x)dx= [ C ]
?xf(x)?C （C）xf?(x)?f(x)?C （D）f?(x)?xf(x)?C （A）f(x)?C （B）
3、设f?(lnx)?1?x，则f(x)? [ C ]
11x22?C （C）x?ex?C （D）ex?e2x?C （A）lnx?(lnx)?C （B）x?22224、设cscx是f(x)的一个原函数，则xf(x)dx＝ [ B ]
?（Ａ）xcscx?cotx?C （Ｂ）xcscx?cotx?C （Ｃ）－xcscx?cotx?C （Ｄ）－xcscx?cotx?C 5、设lnf(x)?cosx，则
2222xf?(x)?f(x)dx? [ A ]
（A）xcosx?sinx?C （B）xsinx?cosx?C （C）xcosx?sinx?C （D）xsinx?cosx?C 二、填空题：
d x1、计算xsinxdx, 可设u = x , dv = sin x ;
?2、计算arcsinxdx, 可设u = arcsin x , dv =
?dx3、计算xexxcose?2xdx?2x4、计算?ecosdx, 可设u = 2 , dv =
22?x5、xedx=
??3x?3xexdx, 可设u = , dv = d
x??(x2?2x?2)e?x?Cxln(1?x2)?2arctanx?2x?C26、ln(1?x)dx=
? 55
三、计算下列各题：
2(x?1)sin2xdx dx 2、??t22t 解：令?3x?t,?x?,dx?dt.解：原式=?x2sin(2x)dx??sin(2x)dx1、e?3x
99原式 =2
?tetdt?2?tdet99? 2 9(tet??etdt)?29tet?2t9e?C? ?29e?3x(3x?1)?C
3、?x2arctanxdx ?x3 解：原式=arctanxd3 ?x31?x3
3arctanx?31?x2dx ?x33arctanx?13?xdx?1?x31?x2dx
3?x3arctanx?1x2?1ln(1?x2)?C 66
5、?xtan2xdx 解：原式??xsec2xdx??xdx ??xdtanx?12x2 ?xtanx??tanxdx?1x2 2 ?xtanx??d(cosx)?1x2
cosx2 ?xtanx?ln|cosx|?1x2
2?C ??12?x2dcos(2x)?12?sin(2x)d(2x)??12??x2cos(2x)??cos(2x)?2xdx?1??2cos(2x)?(34?x22)cos(2x)?x2sin(2x)?C 4、?ln(x?x2?1)dx
1?2x解：原式?xln(x?x2?1)??x?2x2?1x?x2?1dx?xln(x?x2?1)??xx2?1dx?xln(x?x2?1)?1d(x2?1)2?x2?1?xln(x?x2?1)?x2?1?C 6、?ln3xx2dx
2解：原式???ln3xd(1x)??1xln3x?3?lnxx2dx??1xln3x?3?ln2xd(1x)??1xln3x?31xln2x?6?lnxx2dx??1xln3x?3121xlnx?6?lnxd(x)??1xln3x?361xln2x?xlnx?6?x2dx??1366xln3x?xln2x?xlnx?x?C 56
高等数学(Ⅰ)练习 第三章 一元函数积分学
系 专业 班 姓名 学号 习题五 有理函数的积分
一、选择题： 1、
dx?x2?4= [ A ]
（A）ln14x?21x?21x?21x?2?C （B）ln?C （C）ln?C （D）ln?C x?24x?22x?22x?2xdx?4?x2= [ A ] 12?C (B) ln(4?x2)?C (A) ln(4?x）2xx1x(C) arctan?C (D) arctan?C
22222、
二、填空题： 1、
?1dx= 8x?4x2、
1?(x?1)(x?2)11ln|x|?ln|x7?4|?C4281x?2ln||?Cdx= 3x?11332x?x?9x?27ln|x?3|?C323、
x?x?3dx=
3三、计算题：
x?3x2dx 2、?1、?2dx
x?5x?6(x?1)100 x?3?dx (x?2)(x?3) 65?(?)dx x?3x?2 ?6ln|x?3|?5ln|x?2|?C
??121??]dx9899100(x?1)(x?1)(x?1)111??(x?1)?97?(x?1)?98?(x?1)?99?C974999??[ 57
3x5?x4?8dx 4、?3、?3dx x?1x3?x834??(x2?x?1)dx??dx??dx??dx
xx?1x?1
1?x?211?2)dx ??(?x3?x2?x?8ln|x|?3ln|x?1|?4ln|x?1|?Cx?1x?x?132
21d(x?x?1)3dx ?ln|x?1|??2??132x?x?12 (x?)2?24
?ln|x?1|?1ln(x2?x?1)?3arctan2x?1?C23
dx?2?sinx ?1?3x?1x2解：令tan?t.则x?2arctant,dx?dt. 解：令t?3x?1,?x?t3?1,dx?3t2dt21?t2
3t22dt 原式??211?tt?1dt?原式?? ?t2?t?1dt2t32?dt ??3(t?1)dt??1?t21?t
13d(t?) ?t2?3t?3ln|1?t|?C22??
133(t?)2?()2 ?3(x?1)2?33x?1?3ln(1?3x?1)?C2225、
dx 6、
??23231arctan[(t?)]?C3322323x1arctan[(tan?)]?C3322 58