高等数学(Ⅰ)练习 第三章 一元函数积分学
系 专业 班 姓名 学号 习题十一 分部积分法
一、选择题：
?1、
??x4?48sinxdx= [ C ]
?（A）1 （B）2 （C）0 （D）22、
e?40x8sinxdx
lnx?1xdx? [ B ]
e1(A) 1 (B) (C) 0 (D)
223、
?10xe?xdx? [ C ]
2221?1 （B）?1 （C）1? （D）2? eeee（A）
二、填空题：
4??1 = arcsinxdx2 ?02xelnx?23、设f(x)为连续函数且满足f(x)?lnx?2x?f(x)dx，则f(x)? e
161、?e?xdx= e 2 2、
02?14、已知f(0)?2，f(2)?3，f?(2)?4，则三、计算下列定积分：
??20xf??(x)dx=
71、
??4?323?(x?x?2x)cos2xdx 2、??4??解：原式?
? ? ? ?
??(x4?43?2x)cos2xdx??4??4xdx 2sinx4?2xcos2xdx解：原式????3xdcotx4??2?4x2cos2xdx?0?40x2dsin2x????3?[?xcotx]????3cotxdx44xsin2x240??2xsin2xdx40?216???4xdcos2x?0?216???3?3???[lnsinx]?494?????xcos2x240??4cos2xdx0?1?0?sin2x1622?40?16?124?3?13?ln922 69
3、
?21xlog2xdx 4、?xarctanxdx
01 12解：原式?log2xdx2 21 112x222 ?[2xlog2x]1?21xln2dx 21?2?xdx 12ln2
132x2|1?2? ?2?4ln24ln2
???11解：原式??arctanxdx2201211x21?[xarctanx]0??dx20221?x?111???(1?)dx8201?x2?11111?1???dx??dx??2008221?x421ln(1?x)2 6、dx (xsinx)dx??00(2?x)21?解：原式??x2(1?cos2x)dx1102 解：原式??ln(1?x)d02?x? 1?22?[?xdx??xcos2xdx]1ln(1?x)1110 20???dx0?02?x1?x2?x 13?1?2?x0??xdsin2x1111 640?ln2??(?)dx032?x1?x 13121?????xsin2x|0??2xsin2xdx11?x1 6440?ln2?ln|032?x 131?????xdcos2x111 640?ln2?(ln2?ln)?ln2323 131?????[xcos2x|0??cos2xdx] 604 1?113?3?????sin2x|???0 6486417、?(1?x2)mdx （m为自然数）
5、
?0
解：令x?sint,则dx?costdt,当x?0时，t?0,当x?1时，t????2原式??20cos(2m?1)tdt??20sin(2m?1)tdt?2m2m?242???2m?12m?153结论：In???20sinxdx??n??20cosnxdx?n?1?n?3???3?1??,n为奇数?nn?2422???n?1?n?3???4?2,n为偶数53?nn?2 70
高等数学(Ⅰ)练习 第三章 一元函数积分学
系 专业 班 姓名 学号 习题十二 定积分的几何应用（一）
一、填空题：
1、由曲线xy?1和直线y?x、x?2所围成的平面图形的面积的定积分表达式A= [ C ] （A）
?xdx??0121211dx （B）?(x?)dx
0xx2111（C）?1(2?)dy??(2?y)dy （D）?1(?y)dy
1y22y1二、填空题：
1、设D是以抛物线y?x2与直线y?2x所围成的图形，则其面积微元（以x为变元）
y2(y?)dy(2x?x)dxdA? （以y为变元）dA? 2
2、设D由x?cos3t,y?sin3t围成在第一象限部分，则取t为积分变元时，其面积（定积分表达式）为A? 3?8223、设D是以抛物线y?x与直线y?2?x所围成的图形，则其面积值A? 3三、计算题：
1、抛物线y??x?4x?3与其在点(0,?3)和(3,0)处的切线所围成的图形的面积。 解：如图，y???2x?4，y?(0)?4;y?(3)??2. 设点(0,?3)处的切线为l1；点(3,0)处的切线为l2.
2?20sin4t?cos2tdt则l1:y?4x?3；l2:y??2x?6.其交点为(,3)。于是所求面积
32032A??[(4x?3)?(?x2?4x?3)]dx??3[(?2x?6)?(?x2?4x?3)]dx
23=
?320xdx??3[x2?6x?9]dx?2239 4 71
2、求有摆线x?a(t?sint),y?a(1?cost)的一拱（0?t?2?）与x轴所围成的图形的面积. 解：如图，
A??2?a0ydx??a2(1?cost)2dx
022? =3a?
3、在[0,1]上给定函数y?x2，问t取何值时，图中曲边三角形OACO与ADBA的面积之和最小？何时最大？
解：设A(t,t),(0?t?1)，记曲边三角形OACO与ADBA的面积 分别为S1和S2。 则S1?2y B C 122tA ?(t0t2?x)dx；S2??(x?t)dx。
2D O 1tx 其面积之和为f(t)?S1?S2? =
?t0(t?x)dx??(x2?t2)dx
224321t?t? 331。 2令f?(t)?4t?2t?0,?t?0,t?2又f(0)?
111221，f()?，f(1)?，故最大值为，最小值为。 324334
72
高等数学(Ⅰ)练习 第三章 一元函数积分学
系 专业 班 姓名 学号 习题十三 定积分的几何应用（二）
一、选择题：
1、曲线??a2cos?所围成的图形的面积为 [ C ]
?（A）
??20?1212acos?d? (acos?)2d? （B）???22?（C）
20(a2cos?)2d? （D）?(a2cos?)2d?
???2、由曲线y2?x和y?x2围成的图形绕ox轴旋转所得的旋转体的体积为 [ B ] （A）
?3??2? （B） （C） （D） 1010553、曲线y2?x3在区域{(x,y)|0?x?1,0?y?1}内的弧长为 [ D ] （A）13 （B）二、填空题：
218a?1、曲线??2a(2?cos?)所围成的图形的面积为A=
13881313?1 （C）(13?1) （D）(13?1) 272727832、曲线y?x和直线x?2、y?0所围成的平面图形分别绕x轴和y轴旋转的旋转体的体积
128?64?是Vx= 7 和Vy= 5 三、计算题： 1、求曲线??乘以2即可。
两曲线在第一象限的交点坐标为(??2sin?和?2?cos2?所围成图形的公共部分的面积。
解：如图，显然两曲线所围成的图形关于y轴对称，所以只需要计算第一象限部分的面积，再
?6,2)，故所求面积为 211S?2[?6(2sin?)2d????4cos(2?)d?]
0226?=2?601?31 sin?d????4cos(2?)d?=??262262? 73