三、计算题：
1、用定积分表示极限lim(n??nnnn?????) 2222222n?1n?2n?3n?n n11 解：原式?lim?n???kk?1n 1?()2n
?1?1dx?[arctanx]?0?01?x241 2、利用定积分定义计算由抛物线y?x2?1，两直线x?a,x?b(a?b)及x轴所围成的图形的面积。
四、证明题：
设f(x)在[a，b]上连续，f(x)?0，且设f(x)在[a，b]上连续，f(x)?0，且
?baf(x)dx?0，则在[a，b]上f(x)?0
?baf(x)?0，则在[a，b]上f(x)?0
证：（用反证法）设在[a，b]上f(x)?0。
由于f(x)?0，则至少有一点x0使得f(x0)?0，因为f(x)在[a，b]上连续，
这时，存在U(x0,?),(??0)，有f(x)?0(x?U(x0,?))
?baf(x)??x0??ax0??f(x)dx??x0??x0??f(x)dx??bx0??f(x)dx
??x0??f(x)dx?0， 矛盾。
所以，在[a，b]上f(x)?0
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高等数学(Ⅰ)练习 第三章 一元函数积分学
系 专业 班 姓名 学号 习题九 微积分基本公式
一、选择题： 1、设
?x0f(x)dx?xsinx，则f(x)= [ A ] x3（A）sinx?xcosx （B）sinx?xcosx （C）xcosx?sinx （D）?sinx?xcosx 2、limx?0x?sin02= [ C ]
tdt1（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 3、设xsinx是f(x)的一个原函数，则
?0f(x)dx= [ B ]
（A）sin1?cos1 （B）sin1 （C）1?sin1 （D）1?cos1
?f[f()]= [ D ] ，则sintdt?02（A）?1 （B）1 （C）?cos1 （D）1?cos1
dx2f(t)dt= [ B ] 5、设f(x)在(??,??)内连续，则
dx?04、设f(x)?x（A）f(x) （B）2xf(x) （C）f?(x) （D）2xf?(x) 二、填空题：
1dbat10esinbtdt= 2、若(2x?k)dx?2，则k= ??a0dx0224dx2d022costdt?2xcos(x)21?tdt= 4xcostdt = ?x3、、2x1?x2??dx0dxxcosxcosxyxdy???t5、设?edt??costdt?0确定了y?y(x)，则= 1?sinxey00dx22221、
6、设f(x)??x0(acost?cos3t)dt在x??3处取得极值，则a= 27、设f(x)为连续函数且满足三、计算题： 1、设f(x)??x3?10f(t)dt?x，则f(7)?
112?x20etdt??e?tdt，求f?(x)
x21242
解：f?(x)?2xex?e?x
65
9df(x)2、设f(x)??2，求 3、?x(1?x)dx
x44dx1?t322x92 11解：原式?[x?]|24解：f?(x)?3x?2x32 1?x121?x8271 2?3x2x6? ?1281?x1?x
x3dt
53x4?3x2?1dx 4、? 5、2x?4dx 2??10x?1001
解：原式?(3x2?)dx2?11?x
?
?[x3?arctanx]|0?1??1 4
?解：原式??(4?2x)dx??(2x?4)dx022?[4x?x2]|0?[x2?4x]|52?4?9?13256、
??0sinx?sin3xdx 7、
xt2???0edt????limx?02解：原式?
?? 2?cosxsinxdx??cosxsinxdx 023?3 22224? [sin2x]|02?[sin2x]|?????333332
??0|cosx|sinxdx?x0tedt2ex22t2
??解：原式?limx?0?x0etdt22xex?limx?02?etdt0x2xex2xe22?limx?02ex2x2?ex2?28、设f(x)??2?x?1,(x?1)，求f(x)dx 2?0?2x?1,(x?1)f(x)dx?f(x)dx? 解：f(x)dx?101
x223312?x]|1?[x?x]|? ?[01236
?2?1?2?10(x?1)dx??(2x2?1)dx12 66
高等数学(Ⅰ)练习 第三章 一元函数积分学
系 专业 班 姓名 学号 习题十 定积分的换元法
一、选择题：
1、设f(x)为[?a,a]上的连续函数，则定积分（A）0 （B）22、设f(x)是连续函数，则
?a?af(?x)dx= [ D ]
aa?a?a?a0bf(x)dx （C）??f(x)dx （D）?f(x)dx f(x)dx??f(a?b?x)dx= [ A ]
ab?a（A）0 （B）1 （C）a?b （D）3、设f(x)在区间[0,l2]上连续，则函数F(x)??baf(x)dx
?x0tf(t2)dt在区间(?l,l)上是 [ B ]
（A）奇函数 （B）偶函数 （C）既奇既偶函数 （D）非奇非偶函数 4、设
?x041x4f(t)dt?f(x)dx? [ D ] ，则?02x （A）2 （B）4 （C）8 （D）16
二、填空题：
1?31、?1(2x?1)dx= 200 2、=?2sin?cos?d?=
0?0992143、
?1dx5?4x?1= 1 4、
?11x(1?x)0dx=
?2三、计算题：
e2dx1、? 2、?1?2(11?5x)3?311e2 =?(5x?11)d(5x?11)=?5?21
151 ??[(5x?11)?2]|1??2?[210512
1dxx1?lnxd(1?lnx)x1?lnx
e1?lnx]|1?23?22?3、
32(1?sin?)d? 4、cosudu???2?1 =?(1?cos2u)du 2111?32?[sin2u?u]|??[?]222346?6?2?60=?d???(1?cos2?)dcos?00??cos3??4???[cos??]|0???33 67
5、
?1xdx5?4x?1 6、
?a0x2a2?x2dx
5?t2 解：令5?4x?t,?x?,4
dx??tdt.当x??1时，t?3;2
当x?1时，t?1. 5?t21 4原式=?3 t 113?[5t?t3]|1? 83
解：令x?asint,?dx?acostdt,当x?0时，t?0;当x?a时，t???2.原式=?2a2sin2t?a2cos2tdt0?t13dt??(5?t2)dt28116a422a42?sin(2t)dt?(1?cos4t)dt4?08?0?a4sin4t2?a4?[t?]|0?8416??四、若f(x)是连续函数且为奇函数，证明证：记F(x)??x0f(t)dt是偶函数。
?x0f(t)dt,则
?x0F(?x)??命题得证。
f(t)dt??f(?u)d(?u)??f(u)du?F(x).
00xx五、设f(x)是以l为周期的连续函数，证明?证：方法一，
其中于是
a?laf(x)dx的值与a无关。
a?ll?a?laf(x)dx??f(x)dx??f(x)dx??a00lf(x)dx
0??a?lla?lf(x)dx?x?t?l?a0f(t?l)dt??f(t)dt??f(x)dx???f(x)dx,
00ala?l0laaaf(x)dx??f(x)dx??f(x)dx??a0f(x)dx
= =
?0alf(x)dx??f(x)dx??f(x)dx
0al0?0f(x)dx,与a无关。命题得证。
方法二，记F(a)?因此，F(a)?
?a?laf(x)dx,那么，F?(a)?f(a?l)?f(a)?0,
?a?laf(x)dx的值与a无关，命题得证。
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