2、求曲线x2?(y?5)2?16所围成的图形绕x轴旋转的旋转体的体积
解：方法一， 如图，曲线的参数方程为?所求旋转体的体积为V??x?4cost,?y?5?4sint0?t?2?，那么
4?4?42??y12(x)dx????y2(x)dx
?422? =4???(4sint?5)dcost?4???20(4sint?5)2dcost
=160?
方法二， V??4?442??y12(x)dx????y2(x)dx
?44 =???4(5?16?x)dx???(5?16?x2)2dx
?4224 =20? =40??4?4416?x2dx
?016?x2dx
=160?
3、在摆线x?a(t?sint),y?a(1?cost)上求分摆线第一拱成1:3的点的坐标。
解：如图，设所求点的坐标为(a(t0?sinto),a(1?cost0))，该点分摆线第一拱所得的两段弧的 长分别为S1和S2，那么 S1?2?t00a2(1?cost2)?a2si2nttd?41a?(t0co s2)S2??2?t0t0a(1?cost)?asintdt?4a(cos?1)，
22222依题意有，
S1122?33a?)a,)。 ?,从而t0??，即所求点的坐标为((3322S23 74
高等数学(Ⅰ)练习 第三章 一元函数积分学
系 专业 班 姓名 学号 习题十四 定积分的物理应用
1． 由实验知道，弹簧在拉伸过程中，需要的力F（单位：N）与伸长量s（单位：cm）成正比， 即 F=ks（k是比例系数）。如果把弹簧由原长拉伸6cm，计算所作的功。 解：取s为积分变量，其变化区间为[0,6]，设[s,s?ds]为[0,6]上任一小区间。当弹簧从
s伸长到s?ds时，外力所做的功近似于
6ksdsksds，即功元素为dW?，于是，所求的功为
100100 W??0ksdsks26?[]0?0.18k（J）。 100200 2、用铁锤将一铁钉击入木版，设木版对铁钉的阻力与铁钉击入木版的深度成正比，在第一次时，将铁钉击入木版1cm。如果铁锤每次打击铁钉所作的功相等，问锤击第二次时，铁钉又击入多少？
解：设F?kx,其中k为比例系数，x为铁钉击入木板的深度，且锤击第二次时，铁钉又击入
hcm.
则第一次锤击所做的功为W?
?10kxdx；第二次锤击所做的功为W??1?h11?h1kxdx，依题意有
?10kxdx??kxdx,解得，h?2?1。
3、设一圆锥形贮水池，深15米，口径20米，盛满水，今以吸管将水吸尽，问要作多少功？ 解：如图，取深度x为积分变量，其变化区间为[0,15]，相应于[0,15]上任一小区间[x,x?dx]
的一薄层水的体积近似于?[2(15?x)22(15?x)2]dx，重力近似于9.8?[]dx KN。将这一薄层332(15?x)2]xdx，于是，所求的功为 3水吸出需做的功近似于dW?9.8?[ W?
?1509.8?[2(15?x)2]xdx?57752(KJ) 3 75
4、有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长10米和6米，高为20米，较长的底边与水面相齐，计算闸门的一侧所受的水压力。
解：如图，取水深h为积分变量，其变化区间为[0,20]，设[x,x?dx]为[0,20]上的任一小区间，则 相应于[x,x?dx]的这一小块闸门上各点处的压强近似于?gx，面积近似于
50?xdx，因此 5这一小块闸门所受压力即压力元素为dP??gx50?xdx，于是所求压力为 5P???gx02050?xdx?14373（KN） 55、设有一长度为l、线密度为?的均匀细直棒，在与棒的一端平行距离为a单位处有一质量为
m的质点M，试求这细棒对质点的引力。
解：如图，去y轴经过细直棒，棒的一端为原点，质点M位于x轴上，取y为积分变量，其变化
区间为[0,l]，把细直棒上相应于[y,y?dy]的一段近似地看成一个质点，其质量为?dy，与M22相距a?y，该一小段细直棒队M的引力?F的大小为?F?Gm?dy。从而，?F在
a2?y2水平方向和铅直方向的近似值，即细直棒对质点M的引力在水平和铅直方向的分力的元素分别为
dFx??Gam?dy(a2?y)322 ； dFy?Gym?dy(a2?y)322。
于是，引力在水平方向的分力 Fx???ll0Gam?dydy??3Gm?laa?l22；
(a2?y2)2在铅直方向的分力 Fy?
1ldy?Gm?(?)。 ?022322aa?l(a?y)2Gym?dy 76
高等数学(Ⅰ)练习 第三章 一元函数积分学
系 专业 班 姓名 学号 习题十五 反常积分
一、选择题：
1、下列反常积分发散的有 [ C ] （A）
???0??lnx??1dxdx?xdx （B） （C） （D）edx 2???e002x1?x1?x2、下列反常积分收敛的有 [ D ]
（A）?1dx0x （B）?1dx1lnx0x2 （C）?0xdx 二、填空题、 1、若反常积分
???dx2x(lnx)k收敛，则k ?1ax2、设lim?1?ax????1?x??????tetdt，则a? 2三、判定下列各反常积分的收敛性，如果收敛，计算反常积分的值： 1、
???dx1x4
解：原式? tlim????t1x?4dt??1113tlim(???t3?1)?3. 2、
????ax0edx （a?0）
解：原式???1 tlim????t?ax0edxatlim(???e?at?1)?1a.
77
D）?1dx0x
（3、
?2xdxx?11
2222x?1?1x
解：原式=limdx?limdx?lim[?tt?1?tt?1t?1? x?1x?13
28222?lim[(x?1)]?lim[2x?1]?. t?1?ttt?1?33
???tx?1dx??1x?1tdx]四、证明题不等式 1???211??e?xdx?1? 0e2e ??1???x2?x2?x2证：因为edx?edx?edx,所以 001??1?? 1?x22edx?e?xdx?e0dx?xe?xdx.001 011
而e?xdx?1?;0 e??2 101edx?xe?xdx?1?.1 02e ??211故1??e?xdx?1?，命题得证。0 e2e
???????????
78