【专题】综合题；方程思想；综合法；直线与圆．
【分析】圆x+y=1上至少有两点到直线y=kx+2的距离为，即圆心到直线的距离要小于
，利用点到直线的距离公式可得答案．
【解答】解：圆x+y=1上至少有两点到直线y=kx+2的距离为，即圆心到直线的距离要小于
，
2
2
2
2
利用点到直线的距离公式＜，∴．
故答案为：．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，属于中档题． 18．（2015?江苏）在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mx﹣y﹣2m﹣
22
1=0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 （x﹣1）+y=2 ． 【考点】圆的标准方程；圆的切线方程． 【专题】计算题；直线与圆．
【分析】求出圆心到直线的距离d的最大值，即可求出所求圆的标准方程．
【解答】解：圆心到直线的距离d==≤，
∴m=1时，圆的半径最大为，
22
∴所求圆的标准方程为（x﹣1）+y=2．
22
故答案为：（x﹣1）+y=2．
【点评】本题考查所圆的标准方程，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，比较基础．
19．（2014?海门市校级模拟）已知半椭圆
+
=1（y≥0，a＞b＞0）和半圆x+y=b（y
2
2
2
≤0）组成的曲线C如图所示．曲线C交x轴于点A，B，交y轴于点G，H，点M是半圆上异于A，B的任意一点，当点M位于点（
，﹣
）时，△AGM的面积最大，则半
椭圆的方程为 （y≥0） ．
第16页（共50页）
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由点M（，﹣）在半圆上，可求b，然后求出G，H，A，根据已知AGM
的面积最大的条件可知，OM⊥AG，
即KOM?KAG=﹣1，代入可求a，进而可求椭圆方程 【解答】解：由点M（
，﹣
）在半圆上，
所以b=1， ∵G（0，a），H（0，﹣a），A（﹣b，0） 而当点M位于（即KOM?KAG=﹣1，
，﹣
）时，△AGM的面积最大可知，OM⊥AG，
∵
，KAG==a
∴∴a=
═﹣1 ，b=1
（y≥0）
所以半椭圆的方程为
故答案为：（y≥0）
【点评】本题主要考查了椭圆方程的求解，直线的垂直与斜率关系的应用，解题的关键是灵活利用椭圆的性质
三．解答题（共11小题）
22222
20．已知圆x+y=16与圆（x﹣4）+（y+3）=r在交点处的切线互相垂直，求实数r的值． 【考点】圆的切线方程． 【专题】直线与圆．
【分析】根据两个圆切线之间的垂足关系建立条件方程，即可得到结论．
22222
【解答】解：x+y=16的圆心O，半径r=4，圆（x﹣4）+（y+3）=r的圆心是A（4，﹣3），
第17页（共50页）
设交点之一是B，
因为过B点的切线互相垂直， 所以过B点的两条半径也垂直， 即OB垂直AB
所以三角形OAB是直角三角形， ∠OBA=90°
AO=（4﹣0）+（﹣3﹣0）=25
2
OB=4，OB=16 222
r=AO﹣OB=9， 即r=3．
2
2
2
【点评】本题主要考查圆与圆的位置关系的应用，利用圆的切线之间的关系是解决本题的关键． 21．（2010秋?海门市期末）已知圆C的圆心C在x轴的正半轴上，半径为5，圆C被直线x﹣y+3=0截得的弦长为． （1）求圆C的方程；
（2）设直线ax﹣y+5=0与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，是否存在实数a，使得A，B关于过点P（﹣2，4）的直线l对称？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由． 【考点】直线和圆的方程的应用；圆的标准方程． 【专题】计算题．
22
【分析】（1）设⊙C的方程为（x﹣m）+y=25（m＞0），由弦长公式求出m，即得圆C的方程．
（2） 由圆心到直线的距离等于半径，求得实数a的取值范围．
（3）设存在实数a，使得A，B关于l对称，则有，解出实数a的值，得
出结论．
第18页（共50页）
【解答】解：（1）设⊙C的方程为（x﹣m）+y=25（m＞0），由题意设解得 m=1．故⊙C的方程为（x﹣1）+y=25． （2）由题设知
，故12a﹣5a＞0，所以，a＜0，或
22
2
22
，
．
故实数a的取值范围为．
，
（3）设存在实数a，使得A，B关于l对称．∴PC⊥AB，又 a＜0，或
即 ，∴，
∴存在实数，满足题设．
【点评】本题考查圆的标准方程以及直线和圆相交的性质，两直线垂直的性质，由存在实数a，使得A，B关于l对称得到
是解题的关键和难点．
22．（2008春?常州期末）已知圆C：（x﹣3）+（y﹣4）=4，直线l1过定点A （1，0）． （1）若l1与圆C相切，求l1的方程； （2）若l1的倾斜角为
，l1与圆C相交于P，Q两点，求线段PQ的中点M的坐标；
2
2
（3）若l1与圆C相交于P，Q两点，求三角形CPQ的面积的最大值，并求此时l1的直线方程．
【考点】点与圆的位置关系；中点坐标公式；点到直线的距离公式． 【专题】计算题；分类讨论． 【分析】（1）通过直线l1的斜率存在与不存在两种情况，利用直线的方程与圆C相切，圆心到直线的距离等于半径，判断直线是否存在，求出k，即可求l1的方程；
（2）l1的倾斜角为，直接求出l1的方程，利用直线l1与圆C相交于P，Q两点，求线段
PQ的中点M的坐标，直接转化为过圆心与直线l1垂直的中垂线方程，解两条直线方程的交点即可；
（3）l1与圆C相交于P，Q两点，直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，设直线方程为kx﹣y﹣k=0，求出圆心到直线的距离，弦长，得到三角形CPQ的面积的表达式，利用二次函数求出面积的最大值时的距离，然后求出直线的斜率，得到l1的直线方程． 【解答】解：（1）解：①若直线l1的斜率不存在，则直线x=1，圆的圆心坐标（3，4），半径为2，符合题意．
②若直线l1斜率存在，设直线l1为y=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k=0．
第19页（共50页）
由题意知，圆心（3，4）到已知直线l1的距离等于半径2，即：
，
解之得 ．所求直线方程是：x=1，或3x﹣4y﹣3=0．
（2）直线l1方程为y=x﹣1．∵PQ⊥CM，∴CM方程为y﹣4=﹣（x﹣3），即x+y﹣7=0． ∵
∴
∴M点坐标（4，3）．
（3）直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，设直线方程为kx﹣y﹣k=0， 则圆
又∵三角形CPQ面积
．
∴当d=时，S取得最大值2．∴．
∴直线方程为y=x﹣1，或y=7x﹣7．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，直线与圆相切，相交，直线的交点，弦的中点，三角形的面积的最值直线方程等有关知识，考查计算能力，转化思想，注意直线的斜率不存在的情况，容易疏忽，是易错点．
23．（2015?哈尔滨校级模拟）已知圆C：x+y+2x﹣4y+3=0．
（1）若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程； （2）从圆C外一点P（x1，y1）向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标． 【考点】直线与圆的位置关系． 【专题】综合题． 【分析】（1）当截距不为0时，根据圆C的切线在x轴和y轴的截距相等，设出切线方程x+y=a，然后利用点到直线的距离公式求出圆心到切线的距离d，让d等于圆的半径r，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，得到切线的方程；当截距为0时，设出切线方程为y=kx，同理列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，得到切线的方程； （2）根据圆切线垂直于过切点的半径，得到三角形CPM为直角三角形，根据勾股定理表示出点P的轨迹方程，由轨迹方程得到动点P的轨迹为一条直线，所以|PM|的最小值就是|PO|的最小值，求出原点到P轨迹方程的距离即为|PO|的最小值，然后利用两点间的距离公式表示出P到O的距离，把P代入动点的轨迹方程，两者联立即可此时P的坐标． 【解答】解：（1）∵切线在两坐标轴上的截距相等， ∴当截距不为零时，设切线方程为x+y=a，
22
又∵圆C：（x+1）+（y﹣2）=2，
∴圆心C（﹣1，2）到切线的距离等于圆的半径
22
，
第20页（共50页）