证明如下：设P（x0，y0），（
），则，
∴，，
∴直线OQ的方程为y=﹣，
∴点Q（﹣2，），…（11分）
∴kPQ=
=
==﹣，
又kOP=
，…（13分）
∴kOP?kPQ=﹣1，即OP⊥PQ，故直线PQ始终与圆O相切．…（14分）
【点评】本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线与圆相切的证明，考查直线与圆的位置关系的判断与证明，解题时要注意函数与方程思想的合理运用．
30．（2010?江苏模拟）已知直线l：y=k（x+2）与圆O：x+y=4相交于A、B两点，O是坐标原点，三角形ABO的面积为S． （Ⅰ）试将S表示成的函数S（k），并求出它的定义域； （Ⅱ）求S的最大值，并求取得最大值时k的值． 【考点】直线与圆的位置关系；二次函数的性质． 【专题】计算题；压轴题． 【分析】（Ⅰ）先求出原点到直线的距离，并利用弦长公式求出弦长，代入三角形的面积公式进行化简．
（Ⅱ）换元后把函数S的解析式利用二次函数的性质进行配方，求出函数的最值，注意换元后变量范围的改变．
22
【解答】解：（Ⅰ）直线l方程，原点O到l的距离为，
弦长，
?ABO面积?
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∵|AB|＞0，∴﹣1＜K＜1（K≠0）， ∴
（﹣1＜k＜1且K≠0），
（Ⅱ） 令 S（k）=
=4
?
，则k=
2
，
=4?=4?
=4?=4?．
∴当t=时，
时，Smax=2．
【点评】本题考查点到直线的距离公式、弦长公式的应用，以及利用二次函数的性质求函数的最大值，注意换元中变量范围的改变，属于中档题．
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考点卡片
1．必要条件、充分条件与充要条件的判断 【知识点的认识】
正确理解和判断充分条件、必要条件、充要条件和非充分非必要以及原命题、逆命题否命题、逆否命题的概念是本节的重点；掌握逻辑推理能力和语言互译能力，对充要条件概念本质的把握是本节的难点．
1．充分条件：对于命题“若p则q”为真时，即如果p成立，那么q一定成立，记作“p?q”，称p为q的充分条件．意义是说条件p充分保证了结论q的成立，换句话说要使结论q成立，具备条件p就够了当然q成立还有其他充分条件．如p：x≥6，q：x＞2，p是q成立的充分条件，而r：x＞3，也是q成立的充分条件．
必要条件：如果q成立，那么p成立，即“q?p”，或者如果p不成立，那么q一定不成立，也就是“若非p则非q”，记作“￢p?￢q”，这是就说条件p是q的必要条件，意思是说条件p是q成立的必须具备的条件．
充要条件：如果既有“p?q”，又有“q?p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p?q”． 2．从集合角度看概念：
如果条件p和结论q的结果分别可用集合P、Q 表示，那么
①“p?q”，相当于“P?Q”．即：要使x∈Q成立，只要x∈P就足够了﹣﹣有它就行． ②“q?p”，相当于“P?Q”，即：为使x∈Q成立，必须要使x∈P﹣﹣缺它不行． ③“p?q”，相当于“P=Q”，即：互为充要的两个条件刻画的是同一事物． 3．当命题“若p则q”为真时，可表示为，则我们称p为q的充分条件，q是p的必要条件．这里由，得出p为q的充分条件是容易理解的．但为什么说q是p的必要条件呢？事实上，与“”等价的逆否命题是“”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．
4．“充要条件”的含义，实际上与初中所学的“等价于”的含义完全相同．也就是说，如果命题p等价于命题q，那么我们说命题p成立的充要条件是命题q成立；同时有命题q成立的充要条件是命题p成立．
【解题方法点拨】
1．借助于集合知识加以判断，若P?Q，则P是Q的充分条件，Q是的P的必要条件；若P=Q，则P与Q互为充要条件．
2．等价法：“P?Q”?“￢Q?￢P”，即原命题和逆否命题是等价的；原命题的逆命题和原命题的否命题是等价的．
3．对于充要条件的证明，一般有两种方法：其一，是用分类思想从充分性、必要性两种情况分别加以证明；其二，是逐步找出其成立的充要条件用“?”连接．
【命题方向】
充要条件主要是研究命题的条件与结论之间的逻辑关系，它是中学数学最重要的数学概念之一，它是今后的高中乃至大学数学推理学习的基础．在每年的高考中，都会考查此类问题．
2．二次函数的性质
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【知识点的认识】
其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中学的抛物线的焦点、准线和曲线的平移． 【解题方法点拨】
2
以y=ax+bx+c为例：
①开口、对称轴、最值与x轴交点个数，当a＞0（＜0）时，图象开口向上（向下）；对称轴x=﹣
；最值为：f（﹣
）；判别式△=b﹣4ac，当△=0时，函数与x轴只有一个
2
交点；△＞0时，与x轴有两个交点；当△＜0时无交点．
②根与系数的关系．若△≥0，且x1、x2为方程y=ax+bx+c的两根，则有x1+x2=﹣，x1?x2=；
③二次函数其实也就是抛物线，所以x=2py的焦点为（0，），准线方程为y=﹣，含义为抛物线上的点到到焦点的距离等于到准线的距离．
22
④平移：当y=a（x+b）+c向右平移一个单位时，函数变成y=a（x﹣1+b）+c；
2
例题：y=2x+x﹣3
那么由2＞0，可知抛物线开口向上，对称轴为x=﹣，最小值为f（﹣）=﹣△=1+24=25＞0，故方程2x+x﹣3=0有两个根，其满足x1+x2=﹣；x1?x2=﹣； 另外，方程可以写成（y+
2
2
2
2
，；
）=2（x+），当沿x轴向右，在向下平移
2
时，就变
成y=2x；
【命题方向】
重点关注高中所学的抛物线的焦点、准线和曲线的平移．另外在解析几何当做要灵活运用韦达定理．
3．等差数列的性质 【知识点的知识】 等差数列的性质：
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d=0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和； （3）m，n∈N，则am=an+（m﹣n）d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则as+at=ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有 as+at=2ap；
（5）若数列{an}，{bn}均是等差数列，则数列{man+kbn}仍为等差数列，其中m，k均为常数．
（6）an，an﹣1，an﹣2，…，a2，a1仍为等差数列，公差为﹣d．
（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即2an+1=an+an+2，
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+
2an=an﹣m+an+m，（n≥m+1，n，m∈N）
（8）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍为等差数列，公差为kd（首项不一定选a1）．
4．向量加减混合运算及其几何意义 【知识点的知识】 1、向量的加法运算
求几个向量和的运算叫向量的加法运算，其运算法则有二：
（1）三角形法则：设与不共线，在平面上任取一点A（如图1），依次作则向量 叫做与的和，记作
，即+=
+
=
=a，
=b，
+
特征：首尾相接的几个有向线段相加，其和向量等于从首向量的起点指向末向量的终点． （2）平行四边形法则：如图2所示，ABCD为平行四边形，由于得
+
=
+
=
=
，根据三角形法则
与
的和．
，这说明，在平行四边形ABCD中，所表示的向量就是
特征：有共同起点的两个向量相加，其和向量等于以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线．（首尾相接，结果为首尾）
（3）向量的加法性质
①+=+=；+（﹣）=； ②+=+；
③（+）+=+（+）．
2、向量的减法运算．
求两个向量差的运算叫向量的减法运算．
法则：以将向量a与向量b的负向量的和定义为与的差，即﹣=+（﹣）． 设=
，=
，则．即=
=
．即
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