【考点】椭圆的简单性质．
【专题】证明题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（1）①由椭圆过两点，利用待定系数法能求出椭圆C的方程．
②由题意得PD、MD的斜率存在且不为0，设直线PD的斜率为k，则PD：y=kx﹣1，与
椭圆方程联立求出P点坐标，用﹣代k，得M点坐标，由此能求出直线PM，从而能证明直线PM经过定点T（0，）．
（2）椭圆C的中心到右准线的距离d=出椭圆C的中心到右准线的距离的最小值． 【解答】解：（1）①∵椭圆C：
+
，由此利用换元法及基本不等式性质能求
=1（a＞b＞0）过点（﹣3，0）和（2，），
∴，
解得a=3，b=1， ∴椭圆C的方程为
．
证明：②由题意得PD、MD的斜率存在且不为0， 设直线PD的斜率为k，则PD：y=kx﹣1，
由，得P（，），
用﹣代k，得M（，），
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∴=，
∴直线PM：y﹣=，即y=，
∴直线PM经过定点T（0，）．
解：（2）椭圆C的中心到右准线的距离d=，
由=1，得，
∴==，
令t=a﹣5，t＞0，则当且仅当t=2
，
2
=t++9≥2+9=4+9，
时，等号成立，
∴椭圆C的中心到右准线的距离的最小值为．
【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线过定点的证明，考查椭圆中心到右准线的距离的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、均值定理的合理运用．
27．（2015春?昆明校级期末）已知椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的离心率为
，其中左
焦点F（﹣2，0）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点M关于直线y=x+1
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的对称点在圆x+y=1上，求m的值． 【考点】椭圆的简单性质．
【专题】转化思想；数学模型法；圆锥曲线中的最值与范围问题．
【分析】（1）由题意可得：，解出即可得出．
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（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x3，y3），M关于直线y=x+1的对称点为V（x4，y4）．与
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椭圆方程联立化为3x+4mx+2m﹣8=0．△＞0．可得x3，y3．再利用对称性可得
，可得x4，y4．代入x+y=1．解出即可．
22
【解答】解：（1）由题意可得：，解得c=2，a=2，b=1．
∴椭圆的方程为：=1．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x3，y3），M关于直线y=x+1的对称点为V（x4，y4）． 由
2
，化为3x+4mx+2m﹣8=0．
22
∴△=96﹣8m＞0?﹣2∴x3=
=﹣
＜m＜2．
，y3=x3+m=．
又
，可得x4=，y4=1﹣
．
∵点V（x4，y4）在x+y=1上． ∴（﹣1）+（1﹣∴5m﹣18m+9=0， ∴m=或m=3， 经检验成立． ∴m=或m=3．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、轴对称的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
28．（2015?广东）已知过原点的动直线l与圆C1：x+y﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B． （1）求圆C1的圆心坐标；
（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；
2
2
2
2
22
）=1，
2
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（3）是否存在实数 k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线 C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．
【考点】轨迹方程；直线与圆的位置关系．
【专题】创新题型；开放型；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（1）通过将圆C1的一般式方程化为标准方程即得结论；
（2）设当直线l的方程为y=kx，通过联立直线l与圆C1的方程，利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化，计算即得结论；
（3）通过联立直线L与圆C1的方程，利用根的判别式△=0及轨迹C的端点与点（4，0）决定的直线斜率，即得结论．
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【解答】解：（1）∵圆C1：x+y﹣6x+5=0，
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整理，得其标准方程为：（x﹣3）+y=4， ∴圆C1的圆心坐标为（3，0）；
（2）设当直线l的方程为y=kx、A（x1，y1）、B（x2，y2）， 联立方程组
2
2
，
消去y可得：（1+k）x﹣6x+5=0， 由△=36﹣4（1+k）×5＞0，可得k＜ 由韦达定理，可得x1+x2=
，
2
2
∴线段AB的中点M的轨迹C的参数方程为，其中﹣＜k＜，
∴线段AB的中点M的轨迹C的方程为：（x﹣）+y=，其中＜x≤3； （3）结论：当k∈（﹣有一个交点． 理由如下： 联立方程组
2
2
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，）∪{﹣，}时，直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只
，
2
2
消去y，可得：（1+k）x﹣（3+8k）x+16k=0， 令△=（3+8k）﹣4（1+k）?16k=0，解得k=±， 又∵轨迹C的端点（，±
）与点（4，0）决定的直线斜率为±
，
2
2
2
2
∴当直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点时， k的取值范围为（﹣
，
）∪{﹣，}．
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【点评】本题考查求轨迹方程、直线与曲线的位置关系问题，注意解题方法的积累，属于难题．
29．（2010?广东模拟）已知圆O：x+y=2交x轴于A、B两点，曲线C是以AB为长轴，离心率为
的椭圆，其左焦点为F，若P是圆O上一点，连结PF，过原点O作直线PF的
2
2
垂线交直线x=﹣2于点Q． （Ⅰ） 求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ） 若点P的坐标为（1，1）求证：直线PQ与圆O相切； （Ⅲ） 试探究：当点P在圆O上运动时（不与A、B重合），直线PQ与圆O是否保持相切的位置关系？若是，请证明；若不是，请说明理由．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题． 【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．
【分析】（I）由已知得a=，e=，由此能求出椭圆C的标准方程．
（Ⅱ）由已知得直线OQ的方程为y=﹣2x，从而点Q（﹣2，4），kOP⊥kPQ，由此能证明直线PQ与圆O相切．
（Ⅲ）当点P在圆O上运动时，直线PQ与圆O保持相切．设P（x0，y0），（
），
则相切．
，直线OQ的方程为y=﹣，由此入手能证明直线PQ始终与圆O
【解答】（I）解：∵圆O：x+y=2交x轴于A、B两点， 曲线C是以AB为长轴，离心率为∴a=
，e=
，解得c=1，b=1，
．…（4分） ，∴kOQ=﹣2， 的椭圆，
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∴椭圆C的标准方程为（Ⅱ）证明：∵P（1，1），∴
∴直线OQ的方程为y=﹣2x， ∴点Q（﹣2，4）…（6分）
∴kPQ=﹣1，又kOP=1，∴kOP⊥kPQ，
即OP⊥PQ，故直线PQ与圆O相切．…（8分）
（Ⅲ）解：当点P在圆O上运动时，直线PQ与圆O保持相切，…（9分）
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