即，
解得：a=﹣1或a=3， 当截距为零时，设y=kx，
同理可得或，
则所求切线的方程为x+y+1=0或x+y﹣3=0或
（2）∵切线PM与半径CM垂直，
222
∴|PM|=|PC|﹣|CM|．
2222
∴（x1+1）+（y1﹣2）﹣2=x1+y1． ∴2x1﹣4y1+3=0．
∴动点P的轨迹是直线2x﹣4y+3=0． ∴|PM|的最小值就是|PO|的最小值．
而|PO|的最小值为原点O到直线2x﹣4y+3=0的距离
或
．
，
∴由，可得
故所求点P的坐标为．
【点评】此题考查学生掌握直线与圆相切时所满足的条件，会根据条件求动点的轨迹方程，灵活运用两点间的距离公式化简求值，是一道综合题． 24．（2014?湖南校级模拟）已知圆C经过点A（﹣2，0），B（0，2），且圆心在直线y=x上，且，又直线l：y=kx+1与圆C相交于P、Q两点． （Ⅰ）求圆C的方程； （Ⅱ）若
，求实数k的值；
（Ⅲ）过点（0，1）作直线l1与l垂直，且直线l1与圆C交于M、N两点，求四边形PMQN面积的最大值．
【考点】直线和圆的方程的应用；点到直线的距离公式；圆的标准方程． 【专题】综合题． 【分析】（I）设圆心C（a，a），半径为r，利用|AC|=|BC|=r，建立方程，从而可求圆C的方程；
（II）方法一：利用向量的数量积公式，求得∠POQ=120°，计算圆心到直线l：kx﹣y+1=0的距离，即可求得实数k的值；
方法二：设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线方程代入圆的方程，利用韦达定理及
=x1?x2+y1?y2=，即可求得k的值；
第21页（共50页）
（III）方法一：设圆心O到直线l，l1的距离分别为d，d1，求得理和勾股定理得到，
，根据垂径定
，再利用基本不等式，可求四
边形PMQN面积的最大值；
方法二：当直线l的斜率k=0时，则l1的斜率不存在，可求面积S；当直线l的斜率k≠0时，设
，则
，代入消元得（1+k）x+2kx﹣3=0，求得|PQ|，
2
2
|MN|，再利用基本不等式，可求四边形PMQN面积的最大值． 【解答】解：（I）设圆心C（a，a），半径为r． 因为圆经过点A（﹣2，0），B（0，2），所以|AC|=|BC|=r， 所以
解得a=0，r=2，…（2分）
22
所以圆C的方程是x+y=4．…（4分） （II）方法一：因为所以
，∠POQ=120°，…（7分）
，…（6分）
所以圆心到直线l：kx﹣y+1=0的距离d=1，…（8分） 又
，所以k=0．…（9分）
方法二：设P（x1，y1），Q（x2，y2）， 因为
，代入消元得（1+k）x+2kx﹣3=0．…（6分）
2
2
由题意得：…（7分）
因为又
=x1?x2+y1?y2=﹣2，
，
所以x1?x2+y1?y2=
2
2
，…（8分）
化简得：﹣5k﹣3+3（k+1）=0，
2
所以k=0，即k=0．…（9分）
（III）方法一：设圆心O到直线l，l1的距离分别为d，d1，四边形PMQN的面积为S．
第22页（共50页）
因为直线l，l1都经过点（0，1），且l⊥l1，根据勾股定理，有又根据垂径定理和勾股定理得到，而
，即
，…（10分） ，…（11分）
…（13分）
当且仅当d1=d时，等号成立，所以S的最大值为7．…（14分） 方法二：设四边形PMQN的面积为S．
当直线l的斜率k=0时，则l1的斜率不存在，此时当直线l的斜率k≠0时，设
2
2
．…（10分）
则所以
，代入消元得（1+k）x+2kx﹣3=0
同理得到．…（11分）
第23页（共50页）
=…（12分）
因为，
所以 ，…（13分）
当且仅当k=±1时，等号成立，所以S的最大值为7．…（14分）
【点评】本题考查圆的标准方程，考查向量的数量积，考查圆的性质，考查四边形面积的计算，考查基本不等式的运用，解题的关键是正确表示四边形的面积，属于中档题．
25．（2009?启东市校级模拟）如图，已知椭圆y2），x轴上两点M（1，0），N（﹣1，0）．
（1）若tan∠ANM=﹣2，tan∠AMN=，求该椭圆的方程； （2）若
=﹣2
，且0＜x1＜x2，求椭圆的离心率e的取值范围．
+
=1（a＞0）上两点A（x1，y1），B （x2，
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．
【分析】（1）根据tan∠ANM=﹣2，tan∠AMN=，得直线AM和AN的直线方程，将此二方程联立解得x和y，可知点A的坐标，根据A在椭圆上，求得a，进而求得椭圆方程可得． （2）利用向量的坐标公式得出
，
的坐标，结合条件
2
=﹣2得出坐标间的关系，又
根据A，B两点的坐标适合椭圆方程得出x1﹣2x2=﹣a，从而建立建立a的不等关系，求得a的取值范围，即可解得椭圆的离心率e的取值范围． 【解答】解：（1）由题意得，直线AN的斜率k1=tan∠ANM=﹣2，AM的斜率k2=﹣tan∠AMN=﹣，
所以直线AN的方程为y=﹣2（x+1），同理直线AM的方程为：y=﹣（x﹣1），
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联立两直线方程，解得点A的坐标为（﹣，），
2
因为A在椭圆上，所以+=1，a=5，
∴该椭圆的方程+=1；
（2）
=（x1﹣1，y1），=﹣2
，∴
=（x2﹣1，y2），
即
．
∵若
又∵+=1①；+=1②；
2
∴①﹣②×4得：（x1+2x2）（x1﹣2x2）=﹣3a， ∴x1﹣2x2=﹣a，从而x1=（3﹣a），x2=（3+a）， ∵0＜x1＜x2，∴（3﹣a）＞0，（3﹣a）＜（3+a）， 解得：1＜a＜e=∴e∈（，
2
2
2
2
2
2
2
，
∈（，），
），
）．
∴椭圆的离心率e的取值范围（，
【点评】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题、椭圆的概念和性质、直线方程以及综合应用能力．
26．（2015秋?如东县期末）椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）．
（1）若椭圆C过点（﹣3，0）和（2，）．
①求椭圆C的方程；
②若过椭圆C的下顶点D点作两条互相垂直的直线分别与椭圆C相交于点P，M，求证：直线PM经过一定点；
（2）若椭圆C过点（1，2），求椭圆C的中心到右准线的距离的最小值．
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