第十章 常微分方程和差分方程
在实际问题中，我们研究的对象――变量往往是以函数关系的形式建立了变量间的客观联系，但却很难直接得到所研究的变量之间的函数关系，反而更容易建立这些变量、它们的导数或微分之间的关系，即得到一个关于未知函数的导数或微分的方程，我们称此方程为微分方程.通过求解这样的微分方程，我们同样可以建立所研究的变量之间的函数关系，这样的过程称为解微分方程.现实世界中的许许多多问题都可以在一定的条件下抽象为微分方程，例如人口的增长问题、经济的增长问题等等都可归结为微分方程的问题；这时的微分方程习惯上称为所研究问题的数学模型，如人口模型、经济增长模型等.因此微分方程是数学联系实际并应用于实际的重要途径和桥梁，是数学及其他学科进行科学研究的强有力的研究工具. 微分方程是一门独立的数学学科，有完整的理论体系.我们在这一章主要介绍微分方程的一些基本概念，几种常用的一阶、二阶微分方程的求解方法，线性微分方程的解的理论及求解方法.
但是在经济管理和许多的实际问题中已知的数据大多数是按等时间间隔周期统计的，因而相关变量的取值是离散变化的.如何寻求它们之间的关系及变化规律呢？差分方程是研究这样的离散型数学问题的有力工具，本章在最后介绍差分方程的一些基本概念及常用的求解方法.
§10.1 微分方程的基本概念
先看一个例子.
例1设有某种新产品要推向市场，t时刻的销量为x(t)，由于产品性能
dx与x(t)dt成正比；同时考虑到市场的容量是有限的，假设市场的容量为N，统计数
dx据表明与尚未购买产品的潜在顾客的数量N?x(t)也成正比；则可建立
dt良好，每个产品都是一个宣传品，因而t时刻产品的销售的增长率如下的微分方程：
dx?kx(N?x)， dt其中k为比例系数.可以求出该微分方程的解为x(t)?积分常数.
N，其中C为
1?Ce?kNt10.1.1 微分方程的概念
含有自变量、自变量的未知函数及未知函数的（若干阶）导数或微分的方程称为微分方程.
如果未知函数是一元的，通常称此方程为常微分方程；如果未知函数是多元的，通常称此方程为偏微分方程.本书中只讨论常微分方程.
10.1.2 微分方程的阶
微分方程中出现的未知函数的导数或微分的最高阶的阶数称为微分方程的阶.
例如：y??4x?10，4xdy?ydx?5x?6是一阶的微分方程；
y????x?5(y?)5?6是三阶微分方程.
微分方程中未知函数的导数或微分的最高阶数是一阶，称此方程为一阶微分方程，记为F(x,y,y?)?0或y??f(x,y)；微分方程中未知函数的导数或微分是二阶及以上，称此方程为高阶微分方程.因此一般的n阶微分方程可表示为F(x,y,y?,?,y
10.1.3 微分方程的解
若把函数y??(x)代入微分方程使微分方程恒成立，则称y??(x)是该微分方程的一个解.
例如：y?2x?10x，y?2x?10x?5，y?2x?10x?C（C是任意常数）都是微分方程y??4x?10的解.
10.1.4 微分方程的通解、特解
把含有与微分方程的阶数相同个数的独立的任意常数(即：它们不能合并而使得任意常数的个数减少)的解称为该微分方程的通解；不含任意常数的微分方程的解称为该微分方程的特解.
222(n))?0或y(n)?f(x,y,y?,?,y(n?1)).
例如： y?2x?10x?C（C是任意常数）是微分方程y??4x?10的通解，y?C1sinx?C2cosx是微分方程y???y?0的通解；而
2y?2x2?10x，y?2x2?10x?5，是微分方程y??4x?10的特解，
y?3sinx?5cosx是微分方程y???y?0的特解.
10.1.5 微分方程的通解与特解的关系
微分方程的通解通过一定的条件确定其中的每一个任意常数的数值，这时的微分方程的解即为特解；确定每一个任意常数的值的条件称为微分方程的初始条件；微分方程与初始条件合称微分方程的初始问题.
例如y?C1sinx?C2cosx是微分方程y???y?0的通解；加上条件
yx?0??1，y?x?0?1可确定C1?1，C2??1从而得到y?sinx?cosx是
微分方程y???y?0的特解；其中条件y分方程
x?0??1，y?x?0?1是微
y???y?0的初始条件；把
?y???y?0 ??y??1,y?1x?0?x?0称为微分方程的初值问题.
微分方程的解的图形是一条曲线,称为微分方程的积分曲线.通解的图形是一族积分曲线,特解是这一族积分曲线中的某一条积分曲线.初值问题的几何意义就是求微分方程满足初始条件的拿条积分曲线.
例2 验证 y?c1sinx?c2cosx?是微分方程
1xe (1) 2y???y?ex (2)
的解.
解 因为
1y??c1cosx?c2sinx?ex,
2y????c1sinx?c2sinx?故而y???y??c1sinx?c2sinx?1xe, 21x1e?c1sinx?c2coxs?ex?ex成22立.函数(1)及其导数代入微分方程(2)后成为一个恒等式，因此函数(1)是微分
方程(2)解.
例3 已知函数(1)是微分方程(2)通解，求满足初始条件yx?0?0，
y?x?0?0的特解.
解 将yx?0?0，y?x?0?0代入例1的y?,y??的表达式得
10?ccos0?csin0?e?02??12， ???csin0?ccos0?1e0?012?2?即
1?c??0??12， ???c?1?02?2?解得c1??
11111x，c2?；故所求特解为y??sinx?cosx?e. 22222§10.2 一阶微分方程
一阶微分方程的一般形式为
F(x,y,y?)?0 (1)
如果从(1)中能解出y?，则一阶微分方程可表示为
y??f(x,y) (2)
一阶微分方程有时也可以写成如下的形式
P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0 (3)
如果一阶微分方程为分即得
dy?f(x)或dy?f(x)dx；则只需等式两边积dxy??f(x)dx?C
但并非一阶微分方程都可以如此求解的，比如
dy?x3y，就不能像上面所dx述的求法，原因是方程右端含有未知函数，积分xydx求不出来.为了解
?3决这个困难，在方程的两端同乘以
dxdy，使方程变为?x3dx .这样，变yy量y与x被分离在等式的两端，然后两端积分得
dy143?xdx?C?lny?x?C ?y?4如此得到的函数是原来的微分方程的解吗?(读者自己验证). 本节中将介绍几种特殊类型的一阶微分方程及其解法.
一、可变量分离的微分方程与分离变量法 形如
dy?f(x)g(y) (4) dx的一阶微分方程称为可分离变量的微分方程.
求解方法：
首先分离变量，即把f(x),dx与g(y),dy分别移到方程的两端：
dy?f(x)dx g(y)再两端分别求积分即可求得微分方程的通解
dy?g(y)??f(x)dx?C，其中C是任意常数.