注意：(1)在移项时g(y)?0才可以；如g(y)?0则不妨设y?y0是
g(y)?0的零点，即g(y0)?0，代入原方程可知常数函数y?y0显然是
方程(4)的一个特解.
(2)在上述的通解表示式中，
dy?g(y)与?f(x)dx表示的是一个原函数，
而不是不定积分；两个不定积分中出现的任意常数归并在一起记为C.
例1 求微分方程
dy?3x2(1?y2)的通解. dxdy2?3xdx 21?y解 分离变量可得
两端分别求积分得到通解
dy32?1?y2??3xdx?C即arctany?x?C
其中C是任意常数.通解也可写为y?tan(x?C)，其中C是任意常数.
例2 求微分方程4xdx?3ydy?3xydy?xydx的通解. 解 合并同类项得
223x(4?y2)dx?3y(1?x2)dy
(1)如果4?y?0，分离变量得
2x3ydx?dy 1?x24?y2积分得
13ln(1?x2)??ln4?y2?C1 22其中C1是任意常数.去对数得方程得通解为
1?x2?C(4?y2)3
其中C是一个正的任意常数(C?e2C1).
例3 设一曲线经过点(2,3)，它在两坐标轴间的任一切线段被切点所平分，求这一曲线的方程.
解 设所求的曲线方程为y?y(x)，则曲线上任一点(x,y)处的切线方程为
Y?y?y? X?x由已知，当Y?0时，X?2x，代入上式即得到所求曲线应满足的微分方程及初始条件
y?dy???x ?dx?yx?2?3?此方程为可分离变量的微分方程，易求得通解为
xy?C
又因yx?2?3，则C?6，故所求的曲线为xy?6.
二、齐次方程
如果一阶微分方程
dy?f(x,y) dx中的函数f(x,y)可以变为
ydyy的函数，即微分方程为?g()的形式，
dxxx习惯上称这样的微分方程为齐次方程.例如方程
(xy2?y2)dx?(x2?2xy)dy?0
就是齐次方程，因为我们可以把此方程化为
yy?()2dyxy?yx. ?2?xdxx?2xy1?2(y)x2要求出齐次方程的通解，我们可以用变量代换的方法.
设齐次方程为
dyy?g() (5) dxxyy假设u?，则可以把齐次方程(5)化为可分离变量的微分方程.因为u?，
xxdydy则y?ux，?u?x代入方程(5)可把原方程变为
dxdxduu?x?g(u)
dx即
x分离变量得
du?g(u)?u dxdudx ?g(u)?ux等式两端积分得
dudx??g(u)?u?x?C.
记G(u)为
1y得一个原函数，再把u?代入，则可得方程(5)的通解
g(u)?ux为G(u)?lnx?C，C为任意常数.
例4 解方程
y2?x2解 原方程可变为
dydy?xy. dxdxy()2dyy??x 2ydxxy?x?1x2显然是齐次方程.故令u?y，则 xy?ux，
dydy?u?x dxdx于是原方程变为
duu2 u?x?dxu?1即
x再分离变量，得
duu ?dxu?11dx (1?)du?ux两端积分，得
u?lnu?C?lnx
即lnux?u?C，以
y代换上式中的u便得到原方程的通解为 xylny??C
x注记:
齐次方程的求解实质是通过变量替换，将方程转化为可分离变量的方程.变量替换法在解微分方程中，有着特殊的作用.但困难之处是如何选择适宜的变量替换.一般来说，变量替换的选择并无一定之规，往往要根据所考虑的微分方程的特点而构造.对于初学者，不妨多试一试，尝试几个直接了当的变量替换.
例5 求微分方程
dy?x2?2xy?y2的通解. dx解 令u?x?y,则
y?u?x，
原方程化为
dydu??1 dxdxdu?1?u2 dx即
du?dx 2u?1两端积分，得
arctanu?x?c
把u用x?y换回，得原方程的通解为
x?y?tan(x?c)
三、一阶线性微分方程
方程
dy?P(x)y?Q(x) (6) dx称为一阶线性微分方程，因为它对于未知函数y及其导数是一次方程.如果
方程(6)中的Q(x)?0，则把此时的方程(6)称为齐次的；如果Q(x)不恒等于零，则把方程(6)称为非齐次的.
设方程(6)是非齐次的微分方程，为求出其通解，首先我们讨论(6)式所对应的齐次方程
dy?P(x)y?0 (7) dx的通解问题.显然这是一个可分离变量的方程，分离变量得
dy??P(x)dx y两端积分，得
lny???P(x)dx?C1
或
y?C?e??P(x)dx，(其中C??eC)
1这是方程(6)对应的齐次线性微分方程(7)的通解.
现在我们使用所谓的常数变易法来求非齐次线性方程(6)的通解.此方法是将方程(7)的通解中的常数c换成x的未知函数u(x)，即作变换
y?u?e??P(x)dx （8）
假设(8)式是非齐次线性方程(6)的解.则如果能求得u(x)是什么问题也就解决了. 为此两边求导得