dy?u?e??P(x)dx?uP(x)e??P(x)dx (9) dx将(8)式和(9)式代入方程(6)，得
u?e??P(x)dx?uP(x)e??P(x)dx?P(x)ue??P(x)dx?Q(x)
即
u?e??P(x)dx?Q(x)
u??Q(x)e?P(x)dx u??Q(x)e?P(x)dxdx?C
将上式代入(8)式得到非齐次线性微分方程(6)的通解为
?P(x)dxy?e?(?Q(x)e?P(x)dxdx?C) (10)
注意：公式(10)中的不定积分P(x)dx和Q(x)e?一个原函数.
将(10)式写成如下两项之和
??P(x)dxdx分别理解为
?P(x)dx?P(x)dxP(x)dxy?ce??e??Q(x)e?dx
不难发现：第一项是对应的齐次线性方程(7)的通解；第二项是对应的非齐
次线性方程(6)的一个特解(在(6)的通解(10)中取C?0即得此特解).由此得到一阶线性非齐次微分方程的通解之结构为对应的齐次线性微分方程的通解与非齐次线性微分方程的特解之和.
例6 求方程
dy2y??(x?1)2 dxx?1的通解.
解 这是一个非齐次线性微分方程，由公式（10）得
3y?e?(??2)dxx?1(?(x?1)e32?(?2)dxx?1dx?C)
?eln(x?1)2(?(x?1)?e?1232?ln(x?1)2dx?C)
?(x?1)2(?(x?1)dx?C)
?(x?1)(2(x?1)?C) ?2(x?1)?C(x?1)2
由此例的求解可知，若能确定一个方程为一阶线性非齐次微分方程，求解它只需套用公式（10）即可，当然也可以用常数变易法进行求解.
例7 求微分方程
52212ydx?(x?y3)dy?0
的通解（设y?0）.
解 如将上述方程变形为
dyy?3?0 dxy?x则显然不是线性微分方程.
如果将方程改写为
dxy3?x??0 dyy即
dx1?x?y2 dyy这是一个把x当因变量而y当自变量的形如
dx?P(y)x?Q(y) (11) dy的一阶线性微分方程；用公式可直接得到通解为
?P(y)dyx?e?(?Q(y)e?P(y)dydy?C) (12)
故本问题的通解为
x?e积分得
??ydy1(?y2e1?dyydy?C)
x? 四、伯努利方程
形如
114(y?C). y4dy?P(x)y?Q(x)yn (13) dx的微分方程称为伯努利方程，其中n为常数，且n?0,1.
伯努利方程是一类非线性微分方程，但通过适当的变换就可以把它转化为线性的微分方程.在(13)式的两端除以y，可得
ny?n于是令z?ydy1?P(x)y1?n?Q(x)或(y1?n)??P(x)y1?n?Q(x) dx1?n1?n，就得到关于变量z的一阶线性微分方程
dz?(1?n)P(x)z?(1?n)Q(x) dx利用线性微分方程的求解公式，再把变量z换回原变量可得伯努利方程（13）
的通解为
?(1?n)P(x)dxy1?n?e?(?(1?n)Q(x)e?(1?n)P(x)dxdx?C).
例8 求方程
dyy??(alnx)y2的通解 dxx2?1解 方程两端除以y，令z?y，则原方程可变为
dzz???alnx dxx再由线性微分方程的求解公式可得
az?x(C?(lnx)2)
2再把变量z换回原变量，可得原方程的通解为
ayx(C?(lnx)2)?1
2四、一阶微分方程在经济上的应用的实例
例9 （新产品推广模型）设某产品的销售量x(t)是时间t的可导函数，如果该产品的销售量对时间的增长速率
dx与销售量x(t)及销售量接近于dt饱和水平的程度N?x(t)之积成正比(N为饱和水平，比例常数为k?0)，且当t?0时x?1N.求： 4(1) 销售量x(t)，
(2) 销售量x(t)的增长最快的时刻T. 解 1.由题意可建立如下的微分方程：
dx） ?kx(N?x)，(k?0) （Logistic模型）
dt此方程为可分离变量的微分方程，分离变量得
dx?kdt
x(N?x)两端积分，得
x?CeNkt N?x从中解出x(t)，得
NCeNktx(t)?Nkt
Ce?1由x(0)?11N得C?，故可得 43x(t)?N ?Nkt1?3e2.对求一阶、二阶导数得
dx3N2ke?Nkt? dt(1?3e?Nkt)2d2x?3N3k2e?Nkt(1?3e?Nkt) ?dt2(1?3e?Nkt)3d2xln3令2?0，得T?. dtNkd2xd2xln3当t?T时2?0；当t?T时2?0.故而当T?时x(t)增长
dtdtNk的速度是最快的.
注：习惯上把
dx?kx(N?x)，(k?0) dtN称为Logistic方程，该方程的解曲线x(t)?称为Logistic曲线.在
1＋Be?Nkt经济学、生物学等中常遇到这样的变化规律.
例10 （人才分配模型）每年的大学毕业生（含硕士、博士研究生）中都要有一定比例的人员充实教师队伍，其余的从事科技管理方面的工作.设
t年时教师人数为x1(t)，科技管理人员人数为x2(t)，又设一个教师每年平
均培养?个毕业生，又每年退休、死亡或调出人员的比例为?(0???1)，每年毕业生中从事教师职业的比率为?(0???1)，则根据已知可建立如下的微分方程
dx1???x1??x1 (14) dtdx2??(1??)x1??x2 (15) dt方程(14)是可分离变量的微分方程，易解得其通解为
x1?C1e(????)t
设x1(0)?m，则C1?m；得(13)的特解为
x1?me(????)t
将上式代入(15)式得