函数来讨论方程（1）的特解是非常困难的，在此我们只对两种常见的情形进行讨论.
类型1. f(x)?Pm(x)e型
?x在f(x)?Pm(x)e中，?是常数，Pm(x)是x的一个m次多项式，即
?xPm(x)?a0xm?a1xm?1???am?1x?am
由于右端函数f(x)是指数函数e与m次多项式Pm(x)的乘积，而指数函数与多项式的乘积的导数仍是这一类型的函数，因此我们推测方程（1）的特解也应是
?xy*?Q(x)e?x(其中Q(x)是待定的某个次数的多项式)
把其代入方程（1）中，得
??Q2n??Qn??e?x?p??Qn?Q??e?x?qQne?x?Pm(x)e?x ?2?Qn?约去e，整理得
?xQ???(2??p)Q??(?2?p??q)Q?Pm(x) （7）
于是根据?是否为方程(1)的特征方程r?pr?q?0的特征根有以下三种情形：
(1) 如果??p??q?0，即?不是特征方程r?pr?q?0的根.由于Pm(x)是一个m次多项式，欲使（7）式的两端相等，那么Q(x)必是一个m次的多项式，可设为
222Qm(x)?b0xm?b1xm?1???bm?1x?bm （8）
将(8)代入(7)式，比较等式两端x的同次幂的系数，可得到含有m?1的未知数b0,b1,?,bm?1,bm的m?1个线性方程组，解此方程组可得到这m?1个
待定的系数b0,b1,?,bm?1,bm，最后得到特解
y*?Qm(x)e?x (9)
(2) 如果??p??q?0，且2??p?0，即?是特征方程
2r2?pr?q?0的单根.由于Pm(x)是一个m次多项式，欲使（7）式的两
端相等，那么Q?(x)必是一个m次的多项式，故可设
Q(x)?xQm(x)
用情形（1）相同的方法可得到m次的多项式Qm(x)中的m?1个待定的系数b0,b1,?,bm?1,bm，得到特解为
y*?xQm(x)e?x (10)
(3) 如果??p??q?0，且2??p?0，即?是特征方程
2r2?pr?q?0的二重根.由于Pm(x)是一个m次多项式，欲使（7）
式的两端相等，那么Q??(x)必是一个m次的多项式，故可设
Q(x)?x2Qm(x)
用情形（1）相同的方法可得到m次的多项式Qm(x)中的m?1个待定的系数b0,b1,?,bm?1,bm，于是特解为
y*?x2Qm(x)e?x (11)
综上所述，可总结此类型的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解的求法――待定系数法.
结论1 如果方程(1)的右端函数f(x)?Pm(x)e，其中?是常数，
?xPm(x)是x的一个m次多项式，则方程(1)具有形如
y*?xkQm(x)e?x
的特解，其中Qm(x)是与Pm(x)同次的一个m次多项式，而k的取值如下来确定：
①如果?不是特征方程r?pr?q?0的根，取k?0； ②如果?是特征方程r?pr?q?0的单根，取k?1； ③如果?是特征方程r?pr?q?0的重根，取k?2. 例4 下列微分方程具有样形式的特解？
（1）y???4y??3y?e； （2）y???2y??3y?xe；
2xx222（3）y???2y??y?(x?1)e2?x.
解 三方程都是二阶常系数非齐次线性微分方程，且右端函数类型是
f(x)?Pm(x)e?x.
（1）因?＝2不是其相应的齐次微分方程的特征方程的根，故方程具有形如y?b0e*2x的特解；
（2）因?＝1是其相应的齐次微分方程的特征方程的单根，故方程具有形如y?x(b0x?b1)e的特解；
（3）因?＝?1是其相应的齐次微分方程的特征方程的重根，故方程具有形如y?x(b0x?b1x?b2)e的特解；
*222x*x例5 求微分方程y???5y??6y?xe 的通解.
解 该微分方程是二阶常系数非齐次线性微分方程，且右端函数类型是
2xf(x)?Pm(x)e?x，故只要先求相应齐次的通解及非齐次的一个特解即可.
该方程相应的齐次方程为y???5y??6y?0，它的特征方程为
r2－5r＋6＝0
它的两个根为r1?2,r2?3，则该方程相应的齐次方程的通解为
y?c1e2x?c2e3x
因为方程右端函数中的??2，是特征方程r－5r＋6＝0的单根，所以可设原方程的一个特解为
2y*?x(b0x?b1)e2x
将y及其一阶、二阶导数代入原方程，消去e*2x；或记Q(x)?x(b0x?b1)，
把Q(x)及其一阶、二阶导数代入（7）式，再化简整理，得
－2b0x?2b0－b1?x
比较该等式两端x同次幂的系数，得
??2b0?1 ??2b0?b1?0解得b0??1,b1??1.这样,原方程的一个特解为 21y*?x(?x?1)e2x
21y?c1e2x?c2e3x?x(x?1)e2x
2从而，得到原方程的通解为
其中c1,c2为任意常数.
例5 求微分方程y??－4y?e特解.
2x满足初始条件yx?0?4,y?x?0??2的
解 该方程相应的齐次方程为y???4y?0，它的特征方程为
r2－4＝0
它的两个根为r1?2,r2??2，则该方程相应的齐次方程的通解为
y?c1e2x?c2e?2x
因为方程右端函数中的??2，是特征方程r－4＝0的单根，所以可设原方程的一个特解为
2y*?x?b0e2x
将y及其一阶、二阶导数代入原方程，消去e*2x；或记Q(x)?b0x，把Q(x)及其一阶、二阶导数代入（7）式，再化简整理，得 b0＝一个特解为
1.所以原方程的4y*?从而，得到原方程的通解为
12xxe 412xxe 4y?c1e2x?c2e?2x?其中c1,c2为任意常数.
因yx?0?4，y?x?0??2可得
?c1?c2?4? ?12c?2c???212?4?解得c1?2341.所以原方程满足初始条件的解为 ,c2?1616