y?C2eC1x.
(2) 如果p?0或y?0，即y?C(C为任意实数)是原方程的解(又称平凡解)，其实已包括在(1)的通解中(只需取C1?0).
§10.4 二阶线性微分方程解的结构
在应用问题中较多遇到的一类高阶微分方程是二阶线性微分方程，它的一般形式为
y???P(x)y??Q(x)y?f(x) (1)
其中P(x),Q(x),f(x)为已知的x的函数.
当方程右端函数f(x)?0时，方程(1)称为二阶齐次线性微分方程，即
y???P(x)y??Q(x)y?0 (2)
当方程右端函数f(x)?0时，方程(1)称为二阶非齐次线性微分方程. 本节中主要讨论二阶线性微分方程解的一些性质，这些性质还可以推广到n阶线性微分方程
(n?1)y(n)?P???Pn?1(x)y??Pn(x)y?f(x). 1(x)y定理1 如果y1(x),y2(x)是方程(2)的两个解，则
y?C1y1(x)?C2y2(x) (3)
也是方程(2)的解，其中C1,C2为任意实数.(读者自证)
此性质表明齐次线性微分方程的解满足叠加原理，即两个解按(3)式的形式叠加起来仍然是该方程的解；从定理1的结果看，该解包含了两个任意常数C1和C2，但是该解不一定是方程(2)的通解.例如二阶线性微分方程
y???y?0，不难验证y1?sinx,y2?5sinx都是方程y???y?0的解，但
其y?C1y1(x)?C2y2(x)形式的解y?(C1?5C2)sinx，这显然不是方程
y???y?0的通解(由通解的定义即可知道). 那么满足何条件下的(3)式形式
的解才是方程(2)的通解呢？事实上，y1?sinx是二阶线性微分方程
y???y?0的解，可以验证y2?cos x也是方程y???y?0的解，那么两个
解的叠加y?C1sinx?C2cosx是方程y???y?0的通解. 比较一下，容易发现前一组解的比
y1sinx1??，是常数，而后一组解的比y25sinx5y1sinx??tanx，不是常数. 因而在y1(x),y2(x)是方程(2)的两个非零y2cosx解的前提下，如果
y1为常数，则y?C1y1(x)?C2y2(x)不是方程(2)的通y2y1不为常数，则y?C1y1(x)?C2y2(x)y2解(事实上y1,y2是相关联的)；如果
是方程(2)的通解(事实上y1,y2是不相关联的).
为了解决这个问题，我们引入一个新的概念，即函数的线性相关与线性无关的概念:
设y1(x),y2(x)是定义在区间I内的两个函数，如果存在两个不全为零的常数k1,k2，使得在区间I内恒有
k1y1(x)?k2y2(x)?0
成立，则称此两个函数y1(x),y2(x)在区间I内线性相关，否则称线性无关. 显然如果
y1y是常数，则y1,y2线性相关；1不是常数，则y1,y2线性y2y2无关.
据此我们有以下齐次线性微分方程的解的结构定理：
定理2 如果y1(x),y2(x)是方程(2)的两个线性无关的特解，则
y?C1y1(x)?C2y2(x)
就是方程(2)的通解，其中C1,C2为任意实数.
下面我们来讨论二阶非齐次微分方程的解的结构.在一阶线性微分方程的讨论中，我们已知道一阶线性非齐次微分方程的通解之结构为对应的齐次线性微分方程的通解与非齐次线性微分方程的特解之和，那么二阶及以上的线性微分方程是否也有这样解的结构呢？回答是肯定的.
定理3 如果y(x)是方程(1)的一个特解，且Y(x)是其相应的齐次方程(2)的通解，则
*y?y*(x)?Y(x) （4）
是二阶非齐次线性微分方程(1)的通解.
证 将(4)式代入方程(1)的左端，得
(y*?Y)???P(x)(y*?Y)??Q(x)(y*?Y)
?(y*)???P(x)(y*)??Q(x)y*??Y???P(x)Y??Q(x)Y?
因为y(x)是方程(1)的解， Y(x)是方程(2)的解，可知上式中的第一个中括号内的表达式恒为f(x)，第二个中括号内的表达式恒为零,即方程(1)的左端等于f(x)，与右端恒相等.故(4)式是方程(1)的解.
又因为Y(x)是其相应的齐次方程(2)的通解，由定理2知其包含两个任意常数，因而y?y(x)?Y(x)也包含两个任意常数，从而得知
**??y?y*(x)?Y(x)是方程(1)的通解
例如，方程
y???y?2ex是二阶非齐次线性微分方程，其相应
的齐次方程y???y?0的通解为Y?C1sinx?C2cosx，又容易验证
y*?ex是方程y???y?2ex的一个特解，因此
y?C1sinx?C2cosx?ex
是方程
y???y?2ex的通解.
**在求解非齐次线性微分方程时，有时会用到下面两个定理. 定理4 如果y1(x),y2(x)分别是方程
y???P(x)y??Q(x)y?f1(x) y???P(x)y??Q(x)y?f2(x)
的特解，则y1(x)?y2(x)是方程
**y???P(x)y??Q(x)y?f1(x)?f2(x)
的特解.
这一定理的证明较简单，只需将y?y1?y2代入方程
??y???P(x)y??Q(x)y?f1(x)?f2(x)
便可验证。
这一结论告诉我们
欲求方程y???P(x)y??Q(x)y?f1(x)?f2(x)特解y，可分别求
*y???P(x)y??Q(x)y?f1(x)
与
y???P(x)y??Q(x)y?f2(x)
的特解y1和y2，然后进行叠加y?y1?y2.
定理5 如果y1(x)＋iy2(x)分别是方程
*****y???P(x)y??Q(x)y?f1(x)?if2(x)
的解，其中P(x),Q(x),f1(x),f2(x)为实值函数，i为纯虚数.则
y1(x),y2(x)分别为方程
y???P(x)y??Q(x)y?f1(x)
与
y???P(x)y??Q(x)y?f2(x)
的解.
证 由定理的假设，得
(y1＋iy2)???P(x)(y1＋iy2)??Q(x)(y1＋iy2)?f1(x)?if2(x)
即
???P(x)y2??Q(x)y2???y1???P(x)y1??Q(x)y1??i?y2由两复数必有等式两端的实部与虚部分别相等，得
f1(x)?if2(x)
y???P(x)y??Q(x)y?f1(x) y???P(x)y??Q(x)y?f2(x).
最后指出，在本节中我们仅讨论了二阶线性齐次(非齐次)微分方程的通
解之结构，尚未给出求解二阶线性微分方程的方法，在下面两节中将对较特殊的二阶齐次（非齐次）线性微分方程的通解的求法加以讨论.
§10.5 二阶常系数线性微分方程
由二阶线性微分方程解的结构，二阶线性微分方程的求解问题关键在