y?232x41?2x12xe?e?xe. 16164?x类型2. f(x)?Pm(x)ecos?x或Pm(x)e?xsinx型
对于此种类型的二阶常系数非齐次线性微分方程，即要求形如
y???py??qy?Pm(x)e?xcos?x (12) y???py??qy?Pm(x)e?xsin?x (13)
y???py??qy?e?x[Pm(x)cos?x?Qn(x)sin?x] (14)
这样的方程的特解.
由欧拉公式知道，(12)式与(13)式的右端函数是
Pm(x)e(??i?)x＝Pm(x)e?x[cos?x?isinx]
的实部和虚部，如果我们求出了方程
y???py??qy?Pm(x)e(??i?)x (15)
的一个特解，不妨设为y1?iy2，由第四节定理5可得方程(12)与方程(13)的一个特解分别为y1和y2，即方程(15)的特解的实部就是方程(12)的特解，方程(15)的特解的虚部就是方程(13)的特解．
对应方程(14)只需利用第四节的定理4即可求出该方程的特解，具体方法：先把方程(14)的右端函数化为函数Pm(x)ecos?x与Qn(x)esin?x之和，由定理4可知方程(14)的特解是方程
?x****?xy???py??qy?Pm(x)e?xcos?x (16)
的特解与方程
y???py??qy?Qn(x)e?xsin?x (17)
特解之和，而方程(16)、方程(17)的特解求法完全与方程(12)、方程(13)相类似．
讨论至此，我们只需求出方程
y???py??qy?Pm(x)e(??i?)x (15)
的特解即可，参考类型1即得具体方法.
结论2 如果方程的右端函数为f(x)?Pm(x)e(??i?)x，其中?,?是实
常数，Pm(x)是x的一个m次实系数多项式，则方程(15)具有形如
y*?xkQm(x)e(??i?)x
的特解，其中Qm(x)是与Pm(x)同次的一个m次多项式，而k的取值如下来确定：
①如果??i?不是特征方程r?pr?q?0的根，取k?0； ②如果??i?是特征方程r?pr?q?0的单根，取k?1. 结论3 如果方程的右端函数为
22f(x)?e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]
其中?,?是实常数，Pl(x)、Pn(x)是x的一个l次、n次实系数多项式，则方程(15)具有形如
(1)(2)y*?xke?x[Rm(x)cos?x?Rm(x)sin?x]
的特解，其中Rm(x)、Rm(x)是x的m次多项式，其中m?max{l,n}而
(1)(2)k的取值如下来确定：
①如果??i?（或??i?）不是特征方程r?pr?q?0的根，取
2k?0；
②如果??i?（或??i?）是特征方程r?pr?q?0的单根，取
2k?1.
例6 求 y???y?xcos2x 的通解. 解 （1）先求本题方程相应齐次方程的通解
本题方程相应齐次方程的特征方程为
r2?1?0
故特征根为r1?i,r2??i，所以本题方程相应齐次方程的通解为
Y?c1cosx?c2sinx
（2）再先求原方程的一个特解 为求原方程的特解，我们先求方程
y???y?xe2ix (16)
的特解，再取该方程特解的实部解即为原方程的特解.
因??i??2i不是特征方程r?1?0的根，故设方程(16)的特解为
2y*?(b0x?b1)e2ix
将y及其一阶、二阶导数代入原方程，消去e*2ix；或记Q(x)?b0x?b1，
把Q(x)及其一阶、二阶导数代入（7）式，再化简整理，得
4b0i?3b0x?3b1?x
比较等式两端x同次幂的系数，得
?4b0i?3b1?0 ???3b?10解得b10??3,b1??49i.这样,方程（16）的一个特解为 y*?(?14143x?9i)e2ix?(?3x?9i)(cos2x?isin2x)
??143xcos2x?9sin2x?i(419cos2x?3xsin2x)
从而，得到原方程的一个特解为
~y??13xcos2x?49sin2x （3）原方程的通解为
y?c141cosx?c2sinx?3xcos2x?9sin2x
其中c1,c2为任意常数.
例7 求 y???y?3(1?sin2x) 的通解. 解 （1）先求本题方程相应齐次方程的通解
本题方程相应齐次方程的特征方程为
r2?1?0
故特征根为r1?i,r2??i，所以本题方程相应齐次方程的通解为
Y?c1cosx?c2sinx
（2）再先求原方程的一个特解 为求原方程的特解，我们先求方程
y???y?3 (17)
和
y???y??3sin2x (18)
的特解，为求方程(18)的特解我们先求方程
y???y??3e2ix (19)
的特解，再取该方程特解的虚部解即为方程（18）的特解.
因为?＝0不是特征方程r?1?0的根，故设方程(17)的特解为
2~y1?A
代入方程（17），得A?3（也可直接观察得到）.
因??i??2i不是特征方程r?1?0的根，故设方程(19)的特解为
2y*?Be2ix
将其代入方程（19），消去e2ix；或记Q(x)?B，把Q(x)及其一阶、二阶
导数代入（7）式，再化简整理，得
B?1
故方程（19）的特解为
y*?e2ix＝cos2x?isin2x
取其虚部解即为方程（18）的特解为
~y2?sin2x
从而，得到原方程的一个特解为
~y?~y1?~y2?3?sin2x
（3）原方程的通解为
y?c1cosx?c2sinx?3?sin2x
其中c1,c2为任意常数.
§10.6 差分方程
到现在为止，我们所研究的变量基本上属于连续变化的类型.但在经济与管理及其它实际问题中，许多数据都是以等间隔时间周期统计的.例如，