于：如何求得二阶齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解；本节将讨论二阶线性方程的一个特殊类型，即二阶常系数线性微分方程及其解法.
把具有形式
y???py??qy?f(x) (1)
的方程称为二阶常系数线性微分方程，其中其中p,q是常数. 把具有形式
y???py??qy?0 (2)
的方程称之为二阶常系数齐次线性方程. 一、二阶常系数齐次线性微分方程及其解法
我们已经知道要得到方程(2)的通解，只需求出它的两个线性无关解y1与y2，即
y1?常数，那未 y?c1y1?c2y2 就是方程（2）的通解. y2我们先分析方程（2）可能具有什么形式的特解.从方程的形式看，方程的解y及y?、y??各乘于常数的和等于零，意味着函数y及y?、y??之间只能差一个常数，在初等函数中符合这样的特征的函数很显然是e（r为常数）.于是假设
rxy?erx
是方程（2）的解（其中r为待定常数），则有y??re方程（2）中，得
rx，y???re，代入
2rx(r2?pr?q)erx?0
因erx?0，从而有
r2?pr?q?0 （3）
由此可见，只要r满足代数方程（3），函数y?erx就是微分方程（2）的解。
我们把该代数方程（3）叫做微分方程（2）的特征方程,并称特征方程的两
个根为特征根.根据初等代数的知识可知，特征根有三种可能的情形，下面分别讨论.
1. 特征方程（3）有两个相异的实根r1,r2.
此时特征方程满足p?4q?0，它的两个根r1,r2可由公式
2r1,2?rx?p?p2?4q
2求出，则y1?e1与y2?e2均是微分方程（2）的两个解，并且
rxy2er2x?r1x?e(r2?r1)x不是常数，因此微分方程（2）的通解为 y1ey?c1er1x?c2er2x （4）
其中c1,c2为任意常数.
2. 特征方程（3）有两个相等的实根r1?r2. 此时特征方程满足p?4q?0，特征根r1?r2??rx2p.这样我们只得2到微分方程（2）的一个解 y1?e1，为了得到方程的通解，我们还需另求一个解y2，并且要求
y2?常数（即y1与y2线性无关）。故而可设 y1y2rx?u(x)（u(x)为待定函数），即 y2?u(x)e1，现在只需求得u(x)。y1因y2?u(x)e1是微分方程（2）的解，故对y2求一、二阶导数，得
rx??u??er1x?r1uer1x?er1x(u??r1u) y2???r1er1x(u??r1u)?er1x(u???r1u?)?er1x(u???2r1u??r12u) y2?,y2??代入微分方程（2）将y2,y2，得
er1x[(u???2r1u??r12u)?(pu??pr1u)?qu]?0
约去e1，整理得
rxu???(2r1?p)u??(r12?pr1?q)u?0
因r1??是
2p是特征方程的二重根，则2r1?p?0且r1?pr1?q?0于2u???0
可得到满足u???0的不为常数的解u?x，因而得到了微分方程（2）的另一个特解y2?x?e1，且与y1无关.至此我们得到微分方程（2）的通解为
rxy?c1er1x?c2xer1x (5)
其中c1,c2为任意常数.
3.特征方程有一对共轭复根：r1???i?,r2???i?
此时p?4q?0，设一对共轭复根为r1???i?,r2???i?，其中
2p???，??24q?p2.因此 2y1?e(??i?)x?e?x?ei?x?e?x(cos?x?isin?x) y2?e(??i?)x?e?x?e?i?x?e?x(cos?x?isin?x)
是微分方程（2）的两个解，根据齐次方程解的叠加原理，得
1(y1?y2)?e?xcos?x 21y2?(y1?y2)?e?xsin?x
2iy1?e?xsin?x??x?tg?x?常数（即y1与y2线也是微分方程（2）的解，且
y1ecos?xy2性无关），因而微分方程（2）的通解为
y?c1e?xcos?x?c2e?xsin?x (6)
其中c1,c2为任意常数.
综上所述，求二阶常系数齐次线性微分方程
y???py??qy?0
的通解的步骤如下:
第一步 写出微分方程(2)的特征方程,
第二步 求出特征方程的两个根r1,r2,
第三步 根据特征方程的两个根的不同情形，依下表写出微分方程(2)的通解。
2特征方程r?pr?q?0的两个根r1,r2 微分方程y???py??qy?0的通解 两个不相等的实根r1,r2 两个相等的实根 r1y?c1er1x?c2er2x ?r2 y?er1x(c1?c2x) y?e?x(c1cos?x?c2sin?x) 一对共轭复根 r1,2???i? 例1 求微分方程 y???2y??3y?0 的通解. 解 所给微分方程的特征方程为
r2?2r?3?0
解此方程得两个不同的实根为 r1??1,r2?3，因此微分方程的通解为
y?c1e?x?c2e3x
其中c1,c2为任意常数.
例2 求微分方程y???2y??5y?0的通解. 解 所给微分方程的特征方程为
r2?2r?5?0
解此方程得两个根为 r1,2?1?2i，因此微分方程所求通解为
y?ex(c1cos2x?c2sin2x)
其中c1,c2为任意常数.
例3 求微分方程y???2y??y?0满足初始条件y的特解.
解 所给微分方程的特征方程为
x?0?4,y?x?0??2r2?2r?1?0
解此方程得两个根为 r1,2?1，因此微分方程所求通解为
y?ex(c1x?c2)
因yx?0?4，得c2?4；又因y?x?0??2，得c1??6，于是所求的特解为
y?ex(?6x?4)
二、二阶常系数非齐次线性微分方程及其解法
由第四节可知，方程
y???py??qy?f(x) (1)
的通解的结构为相应的齐次线性微分方程的通解与非齐次线性微分方程的特解之和；我们刚解决了二阶常系数齐次线性方程通解的求法，因而现在只需讨论如何求二阶常系数非齐次线性微分方程的特解的方法。
方程（1）的特解的形式显然与右端的函数f(x)有关，而且对一般的