2008年高考数学试题分类汇编 北大附中广州实验学校
整理得(a2?b2m2)y2?2b2my?b2?a2b2 王 生
?0,
2b2mb2?a2b2,y1y2?222 所以y1?y2?222a?bma?bm222 因为恒有OA?OB?AB，所以?AOB恒为钝角.
???????? 即OA?OB?(x1,y1)?(x2,y2)?x1x2?y1y2?0恒成立.
x1x2?y1y2?(my1?1)(my2?1)?y1y2?(m2?1)y1y2?m(y1?y2)?1
(m2?1)(b2?a2b2)2b2m2??222?1222a?bma?bm 2222222?mab?b?ab?a??0.222a?bm
又a2+b2m2>0,所以-m2a2b2+b2-a2b2+a2<0对m?R恒成立， 即a2b2m2> a2 -a2b2+b2对m?R恒成立.
当m?R时，a2b2m2最小值为0，所以a2- a2b2+b2<0. a2
因为a>0,b>0,所以a
1?51?51?5或a<(舍去)，即a>, 2221?5综合（i）(ii)，a的取值范围为（，+?）.
2解得a>
解法二：
（Ⅰ）同解法一， （Ⅱ）解：（i）当直线l垂直于x轴时，
1y2b2(a2?1)2x=1代入2?2?1,yA?=1. 2aba因为恒有|OA|+|OB|<|AB|解得a>2
2
2
,2(1+yA2)<4 yA2, yA2>1，即
a2?1>1, a1?51?51?5或a<(舍去)，即a>. 222（ii）当直线l不垂直于x轴时，设A（x1,y1）, B（x2,y2）.
x2y2设直线AB的方程为y=k(x-1)代入2?2?1,
ab得(b2+a2k2)x2-2a2k2x+ a2 k2- a2 b2=0,
2222222akak?ab故x1+x2=,xx?. b2?a2k222b2?a2k2因为恒有|OA|2+|OB|2<|AB|2,
所以x21+y21+ x22+ y22<( x2-x1)2+(y2-y1)2, 得x1x2+ y1y2<0恒成立.
x1x2+ y1y2= x1x2+k2(x1-1) (x2-1)=(1+k2) x1x2-k2(x1+x2)+ k2
22a2k2?a2b2(a2?a2b2?b2)k2?a2b222ak2?k222?k?=(1+k)2. 22222b?akb?akb?ak2222222
由题意得（a- a b+b）k- a b<0对k?R恒成立.
2
①当a2- a2 b2+b2>0时，不合题意； ②当a2- a2 b2+b2=0时，a=
1?5; 2QQ：84024795 E-mail: wangsheng@bdfzgz.net 第11页 （共37页）
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③当a2- a2 b2+b2<0时，a2- a2(a2-1)+ (a2-1)<0，a4- 3a2 +1>0,
王 生
3?53?51?51?5或a2>（舍去），a>，因此a?. 22221?5综合（i）（ii），a的取值范围为（，+?）.
2解得a2>
x2y27. (2008广东文、理)设b>0，椭圆方程为2?2?1，抛物线方程为x2?8(y?b).如图4所示,过
2bb点F(0,b+2)作x轴的平行线，与抛物线在
第一象限的交点为G.已知抛物线在点G的切线经 过椭圆的右焦点F1.
(1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程;
(2)设A,B分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在 抛物线上是否存在点P，使得△ABP为直角三角形？ 若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由 （不必具体求出这些点的坐标）.
?y?b?2?x?47.解: (1)解方程组?2得?,
?x?8(y?b),(x?0)?y?b?2 所以点G的坐标为G(4,b+2)，
11?8(y?b)，得y?x2?b，求导数得y??x，
48121 于是，抛物线y?x?b在点G的切线l的斜率为k?y?|x?4??4?1，
84x2y22222 又椭圆2?2?1中c?2b?b?b，即c=b,所以椭圆的右焦点为F1（b,0）
2bbb?2?0?1，解得b=1. 由切线l过点F1，可知kGF1?4?bx2y2??1和x2?8(y?1) 所以满足条件的椭圆方程和抛物线方程分别为21 由x2(2) 在抛物线上存在点P，使得△ABP为直角三角形。且这样的点有4个。
OO
证明：分别过点A、B做y轴的平行线，交抛物线于M，N点，则∠MAB=90，∠NBA=90， 显然M，N在抛物线上，且使得△ABM，△ABN为直角三角形。 若以?APB为直角，设P点坐标为(x,????????2115PA?PB?x?2?(x2?1)2?x4?x2?1?0。
86442关于x的二次方程有一大于零的解，?x有两解，即以?APB为直角的Rt?ABP有两个，
综上所述, 满足条件的点共有4个。
12x?1)，A、B两点的坐标分别为(?2,0)和(2,0)， 8x2y28、(2008海南、宁夏理)在直角坐标系xOy中，椭圆C1：2?2?1(a?b?0)的左、右焦点分别为F1、
ab5F2。F2也是抛物线C2：y2?4x的焦点，点M为C1与C2在第一象限的交点，且|MF2|?。
3???????????????（1）求C1的方程；（2）平面上的点N满足MN?MF1?MF2，直线l∥MN，且与C1交于A、B两点，
????????若OA2OB=0，求直线l的方程。
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8．解：（Ⅰ）由C2：y2 王 生
，． ?4x知F2(10)55设M(x1，y1)，M在C2上，因为MF2?，所以x1?1?，
33226得x1?，y1?．
33M在C1上，且椭圆C1的半焦距c?1，于是
8?4??1，?222消去b并整理得 9a3b?22??b?a?1.9a4?37a2?4?0，
1解得a?2（a?不合题意，舍去）．
3x2y2??1． 故椭圆C1的方程为
4???3????????????（Ⅱ）由MF1NF2是平行四边形，其中心为坐标原点O， 1?MF2?MN知四边形MF因为l∥MN，所以l与OM的斜率相同，
26故l的斜率k?3?6．
23设l的方程为y?6(x?m)．
22??3x?4y?12，由?消去y并化简得 ??y?6(x?m)，9x2?16mx?8m2?4?0． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
16m8m2?4x1?x2?，x1x2?．
99????????因为OA?OB，所以x1x2?y1y2?0． x1x2?y1y2?x1x2?6(x1?m)(x2?m) ?7x1x2?6m(x1?x2)?6m2
8m2?416m?7??6m??6m2
991?(14m2?28)?0． 9所以m??2．
22此时??(16m)?4?9(8m?4)?0，
故所求直线l的方程为y?6x?23，或y?6x?23．
x2y29. (2008湖北文)已知双曲线C:2?2?1(a?0,b?0)的两个焦点为F:(?2,0),F:(2,0),点P(3,7)ab的曲线C上.
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
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2008年高考数学试题分类汇编 北大附中广州实验学校 王 生
（Ⅱ）记O为坐标原点，过点Q (0,2)的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，若△OEF的面积为22,求直线l的方程
9.本小题主要考查双曲线的定义、标准方程、直线和双曲线位置关系等平面解析几何的基础知识，考查待写系数法、不等式的解法以及综合运用数学知识进行推理运算的能力. （满分13分）
x2y2?1（0＜a2＜4＝， (Ⅰ)解法1：依题意，由a+b=4，得双曲线方程为2?2a4?a9722
?1将点（3，7）代入上式，得2?.解得a=18（舍去）或a＝2， 2a4?ax2y2??1. 故所求双曲线方程为222
2
解法2：依题意得，双曲线的半焦距c=2. 2a=|PF1|－|PF2|=
(3?2)2?(7)2?(3?2)2?(7)2?22,
∴a2=2，b2=c2－a2=2.
x2y2??1. ∴双曲线C的方程为22(Ⅱ)解法1：依题意，可设直线l的方程为y=kx+2，代入双曲线C的方程并整理，
得(1－k2)x2－4kx－6=0.
∵直线I与双曲线C相交于不同的两点E、F,
2??k??1,?1?k?0,??∴? 22??3＜k＜3,???(?4k)?4?6(1?k)＞0，?∴k∈(－
3,?1)∪(1,3).
4k6,xx?,于是 12221?k1?k2222|EF|=(x1?x2)?(y1?y2)?(1?k)(x1?x2)
设E(x1,y1),F(x2,y2)，则由①式得x1+x2=
=
1?k2?而原点O到直线l的距离d＝
223?k2(x1?x2)?4x1x2?1?k?
|1?k2|2221?k2,
112223?k2223?k22∴SΔOEF=d?|EF|???1?k??. 222221?k|1?k||1?k|223?k2?22?k4?k2?2?0,解得k=±2, 若SΔOEF＝22，即2|1?k|满足②.故满足条件的直线l有两条，其方程分别为y=2x?2和y??2x?2.
解法2：依题意，可设直线l的方程为y=kx+2,代入双曲线C的方程并整理，
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得(1－k)x－4kx－6＝0. ∵直线l与比曲线C相交于不同的两点E、F，
22
①
2??k??1,?1?k?0,??∴?
22????(?4k)?4?6(1?k)＞0，??3＜k＜3.∴k∈(－3,?1)∪(1,3).
②
设E(x1,y1),F(x2,y2)，则由①式得
223?k2?|x1－x2|＝(x1?x2)2?4x1x2?. ③ ?22|1?k||1?k|当E、F在同一支上时（如图1所示）， SΔOEF＝|SΔOQF－SΔOQE|=
11|OQ|?||x1|?|x2||?|OQ|?|x1?x2|； 2211|OQ|?(|x1|?|x2|)?|OQ|?|x1?x2|. 22当E、F在不同支上时（如图2所示）， SΔOEF＝SΔOQF＋SΔOQE＝综上得SΔOEF＝
1|OQ|?|x1?x2|，于是 2223?k2由|OQ|＝2及③式，得SΔOEF＝.
|1?k2|2223?k42若SΔOEF＝22，即?22?k?k?2?0,解得k=±2,满足②. 2|1?k|故满足条件的直线l有两条，其方程分别为y=
2x?2和y=?2?2.
10. (2008湖北理)如图，在以点O为圆心，|AB|=4为直径的半圆ADB中，OD⊥AB，P是半圆弧上一点， ∠POB=30°，曲线C是满足||MA|-|MB||为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P. （Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程； （Ⅱ）设过点D的直线l与曲线C相交于不同的两点E、F. 若△OEF的面积不小于．．．2．2，求直线l斜率的取值范围.
10.本小题主要考查直线、圆和双曲线等平面解析几何的基础知识，考查轨迹方程的求法、不等式的解法以及综合解题能力.（满分13分）
（Ⅰ）解法1：以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则A（-2，0），B（2，0），D(0,2),P（
3,1），依题意得
222（2?3）?12＝22＜｜AB｜＝4.
｜MA｜-｜MB｜=｜PA｜-｜PB｜＝(2?3)?1?∴曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线. 设实平轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c， 则c＝2，2a＝2
2，∴a2=2,b2=c2-a2=2.
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