2008年高考数学试题分类汇编 北大附中广州实验学校
15．(2008辽宁文) 在平面直角坐标系xOy中，点P到两点(0，?P的轨迹为C．
（Ⅰ）写出C的方程；
王 生
3)，(0，3)的距离之和等于4，设点????????????（Ⅱ）设直线y?kx?1与C交于A，B两点．k为何值时OA?OB？此时AB的值是多少？
15．本小题主要考查平面向量，椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力．满分12分． 解：
（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(0，?的短半轴b?长半轴为2的椭圆．它3)，，(03)为焦点，
22?(3)2?1，
y22?1． ·故曲线C的方程为x?······················································································· 4分 4（Ⅱ）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足 ?2y2?x??1， 4???y?kx?1.消去y并整理得(k2?4)x2?2kx?3?0，
2k3，x1x2??2故x1?x2??2． ············································································ 6分
k?4????????k?4OA?OB，即x1x2?y1y2?0．
2而y1y2?kx1x2?k(x1?x2)?1，
33k22k2?4k2?1?2?2?1?2于是x1x2?y1y2??2． k?4k?4k?4k?4????????1所以k??时，x1x2?y1y2?0，故OA?OB． ··························································· 8分
21412当k??时，x1?x2??，x1x2??．
21717?????AB?(x2?x1)2?(y2?y1)2?(1?k2)(x2?x1)2，
而(x2?x1)2?(x2?x1)2?4x1x2
424?343?13?2?4??， 1717172?????465所以AB?． ·········································································································· 12分
17
?16．(2008辽宁理) 在直角坐标系xOy中，点P到两点(0，轨迹为C，直线y?kx?1与C交于A，B两点．
（Ⅰ）写出C的方程；
3)，(0，3)的距离之和等于4，设点P的
????????（Ⅱ）若OA?OB，求k的值；
????????（Ⅲ）若点A在第一象限，证明：当k>0时，恒有|OA|>|OB|．
16．本小题主要考查平面向量，椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力．满分12分． 解：
QQ：84024795 E-mail: wangsheng@bdfzgz.net 第21页 （共37页）
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（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(0，?的短半轴b? 王 生
长半轴为2的椭圆．它3)，，(03)为焦点，22?(3)2?1，
y22?1． ·故曲线C的方程为x?······················································································· 3分 4（Ⅱ）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足 ?2y2?x??1， 4???y?kx?1.消去y并整理得(k2?4)x2?2kx?3?0，
2k3，x1x2??2故x1?x2??2． ············································································ 5分 k?4k?4????????OA?OB若，即x1x2?y1y2?0．
2而y1y2?kx1x2?k(x1?x2)?1，
33k22k2???1?0， 于是x1x2?y1y2??2k?4k2?4k2?412化简得?4k?1?0，所以k??． ················································································· 8分
2?????2?????22222（Ⅲ）OA?OB?x1?y1?(x2?y2)
22?(x12?x2)?4(1?x12?1?x2)
??3(x1?x2)(x1?x2)
6k(x1?x2) ?．
k2?43因为A在第一象限，故x1?0．由x1x2??2知x2?0，从而x1?x2?0．又k?0，
k?4?????2?????2故OA?OB?0，
??????????即在题设条件下，恒有OA?OB． ··············································································· 12分
17．(2008全国Ⅰ卷文、理)双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦
????????????????????AB、OB成等差数列，且BF与FA同向． ，B两点．已知OA、点F垂直于l1的直线分别交l1，l2于A（Ⅰ）求双曲线的离心率；
（Ⅱ）设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．
17．解：（1）设OA?m?d，AB?m，OB?m?d
?m2?(m?d)2
1bAB4? 得：d?m，tan?AOF?，tan?AOB?tan2?AOF?4aOA3b2a?4，解得b?1 由倍角公式?2a2b?3?1????a?由勾股定理可得：(m?d)QQ：84024795 E-mail: wangsheng@bdfzgz.net 第22页 （共37页）
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则离心率e? 王 生
5． 2（2）过F直线方程为y??a(x?c) bx2y2与双曲线方程2?2?1联立
ab将a?2b，c?15285x?x?21?0 4b2b2??a?2??a?2 4?1???x1?x2??1?????(x?x)?4x1x2?12??bb????????5b代入，化简有
??325b?228b2?? 将数值代入，有4?5???4???15?5?????解得b?3
x2y2??1． 最后求得双曲线方程为：
369 18．(2008全国Ⅱ卷文、理)设椭圆中心在坐标原点，A(2，，直线y?kx(k0)B(01，)是它的两个顶点，与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．
?0)????????（Ⅰ）若ED?6DF，求k的值；
（Ⅱ）求四边形AEBF面积的最大值．
x2?y2?1， 18．（Ⅰ）解：依题设得椭圆的方程为4直线AB，EF的方程分别为x?2y?2，y?kx(k?0)． ·············································· 2分 如图，设D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x1?x2，
y 且x1，x2满足方程(1?4k2)x2?4，
B F 2故x2??x1?．①
2D 1?4kx O A ????????1510由ED?6DF知x0?x1?6(x2?x0)，得x0?(6x2?x1)?x2?E ； 27771?4k2由D在AB上知x0?2kx0?2，得x0?．
1?2k210所以， ?21?2k71?4k2化简得24k?25k?6?0，
23解得k?或k?． ·········································································································· 6分
38（Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点E，F到AB的距离分别为
x1?2kx1?22(1?2k?1?4k2)， h1??255(1?4k)QQ：84024795 E-mail: wangsheng@bdfzgz.net 第23页 （共37页）
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x2?2kx2?22(1?2k?1?4k2)．···································································· 9分 h2??255(1?4k)AB?22?1?5，所以四边形AEBF的面积为
1S?AB(h1?h2)
214(1?2k) ??5?225(1?4k)2(1?2k) ?21?4k1?4k2?4k ?221?4k≤22，
1当2k?1，即当k?时，上式取等号．所以S的最大值为22． ····························· 12分
2解法二：由题设，BO?1，AO?2．
设y1?kx1，y2?kx2，由①得x2?0，y2??y1?0， 故四边形AEBF的面积为 S?S△BEF?S△AEF
···························································································································· 9分 ?x2?2y2 ·
又
?(x2?2y2)2 22?x2?4y2?4x2y2 22≤2(x2?4y2) ?22，
当x2?2y2时，上式取等号．所以S的最大值为22． ················································ 12分
xyC：??1(a?b?0)所围成的封闭图形的面积为45，曲线C1的内切圆19. (2008山东文)已知曲线1ab25半径为．记C2为以曲线C1与坐标轴的交点为顶点的椭圆．
3（Ⅰ）求椭圆C2的标准方程；
（Ⅱ）设AB是过椭圆C2中心的任意弦，l是线段AB的垂直平分线．M是l上异于椭圆中心的点． （1）若MO??OA（O为坐标原点），当点A在椭圆C2上运动时，求点M的轨迹方程； （2）若M是l与椭圆C2的交点，求△AMB的面积的最小值．
?2ab?45，?19．解：（Ⅰ）由题意得?ab25
?22?3．?a?b又a?b?0，
22解得a?5，b?4．
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x2y2??1． 因此所求椭圆的标准方程为
54（Ⅱ）（1）假设AB所在的直线斜率存在且不为零，设AB所在直线方程为y?kx(k?0)， A(xA，yA)．
?x2y22020k2???1，22解方程组?5得xA?，yA?， 4224?5k4?5k??y?kx，2020k220(1?k2)??所以OA?x?y?． 2224?5k4?5k4?5k设M(x，y)，由题意知MO??OA(??0)，
22A2A20(1?k2)所以MO??OA，即x?y??，
4?5k2因为l是AB的垂直平分线，
1所以直线l的方程为y??x，
kx即k??，
y?x2?20?1?2?22y??222220(x?y)??因此x?y??， 222x4y?5x4?5?2y又x2?y2?0，
所以5x2?4y2?20?2， x2y2???2． 故
45又当k?0或不存在时，上式仍然成立．
x2y2???2(??0)． 综上所述，M的轨迹方程为
4520k22022（2）当k存在且k?0时，由（1）得xA?，yA?， 224?5k4?5k?x2y2
??1，?20k220?5422y?由?解得xM?，， M225?4k5?4k?y??1x，
?k?
20(1?k2)80(1?k2)20(1?k2)222222所以OA?xA?yA?，AB?4OA?，OM?． 2224?5k4?5k5?4k1222解法一：由于S△AMB?AB?OM
4180(1?k2)20(1?k2)??? 2244?5k5?4k400(1?k2)2? (4?5k2)(5?4k2)222222QQ：84024795 E-mail: wangsheng@bdfzgz.net 第25页 （共37页）