2008年高考数学试题分类汇编 北大附中广州实验学校 王 生
x2y2??1. ∴曲线C的方程为22解法2：同解法1建立平面直角坐标系，则依题意可得｜MA｜-｜MB｜=｜PA｜-｜PB｜＜
｜AB｜＝4.
∴曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线.
x2y2设双曲线的方程为2?2?1(a＞0，b＞0）.
ab(3)212?2?1,则由 a2解得a2=b2=2, ba2?b2?4.x2y2??1. ∴曲线C的方程为22
(Ⅱ)解法1：依题意，可设直线l的方程为y＝kx+2，代入双曲线C的方程并整理得（1-K）x2-4kx-6=0. ∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，
2
∴
1?k2?0,??(?4k)?4?6(1?k)?0,22?
k??1,?3?k?3.
3,-1）∪（-1，1）∪（1，3）.
4k6,xx??设E（x，y），F(x2,y2)，则由①式得x1+x2=,于是 121?k1?k22222｜EF｜＝(x1?x2)?(y1?x2)?(1?k)(x1?x2)
∴k∈（-
223?k2. ＝1?k?(x1?x2)?4x1x2?1?k?21?k222而原点O到直线l的距离d＝
21?k2，
2112223?k22223?k?1?k??. ∴S△DEF=d?EF??222221?k1?k1?k若△OEF面积不小于2
2,即S△OEF?22，则有
223?k242?22?k?k?2?0,解得?2?k?2. ③ 21?k综合②、③知，直线l的斜率的取值范围为[-2，-1]∪(1-,1) ∪(1, 2).
解法2：依题意，可设直线l的方程为y＝kx+2，代入双曲线C的方程并整理， 得（1-K2）x2-4kx-6=0.
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∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F， ∴
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1?k2?0,??(?4k)?4?6(1?k)?0.22?
k??1,?3?k?3.
∴k∈（-3，-1）∪（-1，1）∪（1，设E(x1,y1),F(x2,y2),则由①式得
23）.
?223?k2?. ③ ｜x1-x2｜=(x1?x2)?4x1x2?221?k1?k当E、F在同一去上时（如图1所示）， S△OEF＝
S?ODF?S?ODE?11OD?x1?x2?OD?x1?x2; 22当E、F在不同支上时（如图2所示）.
11S?OEF?S?ODF?S△ODE=OD?(x1?x2)?OD?x1?x2.
221综上得S△OEF＝OD?x1?x2,于是
2223?k2. 由｜OD｜＝2及③式，得S△OEF=21?k若△OEF面积不小于2
2,即S?OEF?22,则有
223?k242?22?k?k?0,解得?2?k?2. ④
1?k2综合②、④知，直线l的斜率的取值范围为[-2，-1]∪（-1，1）∪（1，2）.
11.(2008湖南文)已知椭圆的中心在原点，一个焦点是F(2,0)，且两条准线间的距离为?(??4)。 （I）求椭圆的方程；
（II）若存在过点A（1，0）的直线l，使点F关于直线l的对称点在椭圆上，
求?的取值范围。
x2y211.解：（I）设椭圆的方程为2?2?1(a?b?0).
ab2a2??,所以a2??,b2?a2?c2???4. 由条件知c?2,且cx2y2??1(??4). 故椭圆的方程是
???4（II）依题意, 直线l的斜率存在且不为0,记为k,则直线l的方程是y?k(x?1). 设点F(2，0)关于直线l的对称点为F?(x0，y0),则
x0?2?y02??k(?1)，x?，??2?01?k2?2 解得? ?y2k?y0??0?k??1??1?k2??x0?2222k2()()221?k1?k??1.即 因为点F?(x0，y0)在椭圆上，所以
???4?(??4)k4?2?(??6)k2?(??4)2?0.
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2008年高考数学试题分类汇编 北大附中广州实验学校 设k2
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?t,则?(??4)t2?2?(??6)t?(??4)2?0.
(??4)2因为??4,所以?0.于是,
?(??4)???[2?(??6)]2-4?(??4)3，?(?) 当且仅当?2?(??6)???(??4)?0.?上述方程存在正实根,即直线l存在.
?1616???,解(?)得?3所以4???.
3?4???6.?16 即?的取值范围是4???.
3
12. (2008湖南理)若A、B是抛物线y2=4x上的不同两点，弦AB（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴相交于点P，则称弦AB是点P的一条“相关弦”.已知当x>2时，点P（x,0）
存在无穷多条“相关弦”.给定x0>2.
（I）证明：点P（x0,0）的所有“相关弦”的中点的横坐标相同； (II) 试问：点P（x0,0）的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？
若存在，求其最大值（用x0表示）：若不存在，请说明理由. 12. 解: （I）设AB为点P（x0,0）的任意一条“相关弦”，且点A、B的坐标分别是
22
（x1,y1）、（x2,y2）（x1?x2）,则y1=4x1, y2=4x2, 两式相减得（y1+y2）（y1-y2）=4（x1-x2）.因为x1?x2,所以y1+y2?0. 设直线AB的斜率是k，弦AB的中点是M（xm, ym）,则
y1?y242??.从而AB的垂直平分线l的方程为 y?ym??ym(x?xm).
x1?x2y1?y2ym2y又点P（x0,0）在直线l上，所以 ?ym??m(x0?xm).
2而ym?0,于是xm?x0?2.故点P（x0,0）的所有“相关弦”的中点的横坐标都是x0-2. (Ⅱ)由(Ⅰ)知，弦AB所在直线的方程是y?ym?k(x?xm)，代入y2?4x中，
222整理得kx?2[k(ym?kxm)?2]x?(ym?kxm)?0. （2）
(ym?kxm)2. 则x1、x2是方程（2）的两个实根，且x1?x2?k2k=
设点P的“相关弦”AB的弦长为l，则
l2?(x1?x2)2?(y1?y2)2?(1?k2)(x1?x2)2
22?(1?k2)[(x1?x2)2?4xx]?4(1?k)(x?xx1)12m2(ym?xm)2ym42?4(1?2)[xm?]4ym
2ym2?(4?ym)(4xm?ym2)??ym4?4ym(2xm?1)?16xm22?4(xm?1)2?[ym2?2(xm?1)]2?4(x0?1)?[ym?2(x0?3)].22因为0 22 QQ：84024795 E-mail: wangsheng@bdfzgz.net 第18页 （共37页） 2008年高考数学试题分类汇编 北大附中广州实验学校 记l2=g(t)=-[t-2(x0-3)]2+4(x0-1)2. 若x0>3,则2(x0-3) ?(0, 4x0-8),所以当t=2(x0-3),即ym=2(x0-3)时, 2 王 生 l有最大值2(x0-1). 若2 综上所述，当x0>3时，点P（x0,0）的“相关弦”的弦长中存在最大值，且最大值 为2（x0-1）；当2< x0?3时，点P（x0,0）的“相关弦”的弦长中不存在最大值. 13．(2008江西文)已知抛物线y?x2和三个点M(x0,y0)、P(0,y0)、N(?x0,y0)(y02?x0,y0?0)，过 点M的一条直线交抛物线于A、B两点，AP、BP的延长线分别交曲线C于E、F． （1）证明E、F、N三点共线； （2）如果A、B、M、N四点共线，问：是否存在y0，使以线段AB为直径的圆与抛物线有异于A、 B的交点？如果存在，求出y0的取值范围，并求出该交点到直线AB的距离；若不存在，请说明理由． 2213．（1）证明：设A(x1,x1)、B(x2,x2)，E(xE,yE)、B(xF,yF) 2x12?x2则直线AB的方程：y??x?x1??x12 x1?x2即：y?(x1?x2)x?x1x2 因M(x0,y0)在AB上，所以y0?(x1?x2)x0?x1x2??① x12?y0又直线AP方程：y?x?y0 x1?x12?y0x?y0x12?y0?y?2x1由?得：x?x?y0?0 x1?x2?y?2x12?y0y0y0所以x1?xE??xE??,yE?2 x1x1x12y0y0同理，xF??,yF?2 x2x22y0x1?x2所以直线EF的方程：y??( )yx?x1x20x1x2y令x??x0得y?0[(x1?x2)x0?y0] x1x2将①代入上式得y?y0，即N点在直线EF上 所以E,F,N三点共线 yAFNPMBEOx、B、M、N共线，所以A（2）解：由已知A以AB为直径的圆的方程：x22??y0,y0,B(y0,y0) ???y?y0??y0 22?x?y?y?y0???022由?得y??2y0?1?y?y0?y0?0 2??x?y所以y?y0（舍去），y?y0?1 要使圆与抛物线有异于A,B的交点，则y0?1?0 QQ：84024795 E-mail: wangsheng@bdfzgz.net 第19页 （共37页） 2008年高考数学试题分类汇编 北大附中广州实验学校 所以存在y0则yT 王 生 ?1，使以AB为直径的圆与抛物线有异于A,B的交点T?xT,yT? ?y0?1，所以交点T到AB的距离为y0?yT?y0??y0?1??1 14．(2008江西理) 设点P?x0,y0?在直线x?m?y??m,0?m?1?上，过点P作双曲线x2?y2?1的 1，0)． m （1）过点A作直线x?y?0的垂线，垂足为N， 试求△AMN的重心G所在的曲线方程； （2）求证：A、M、B三点共线． 两条切线PA、PB，切点为A、B，定点M( 14..解：（1）设A(xA,yA)，∵AN⊥直线y?x，N(xN,xN)， yA?xN??1 xA?xNx?yAx?yAxA?yA∴xN?A，∴N(A,)， 222设G(x,y)，则 xA?yA1??x?A?111m2x???x?yA?A?33m26，解得 ?xA?yA??yA112?y??x?yAA?362?12933?9(x?)?xA?4x?4y?4m9y2223m，代入双曲线方程x?y?1，并整理得??1， ?39122?yA??x?y?444m?1(x?)2y23m??1 即G点所在曲线方程为 2929（2）设A(x1,y1)，B(x2,y2)，PA斜率为k，则切线PA的方程为：y?y1?k(x?x1) ?y?y1?k(x?x1)由?，消去y并整理得： 22x?y?1?(1?k2)x2?2k(y1?kx1)x?(y1?kx1)2?1?0，因为直线与双曲线相切，从而 x2222222△=4k(y1?kx1)?4(1?k)(y1?kx1)?4(1?k) = 0，及x1?y1?1，解得k?1 y1因此PA的方程为：y1y?x1x?1 同理PB的方程为：y2y?x2x?1 又P(m,y0)在PA、PB上， ∴y1y0?x1m?1 y2y0?x2m?1 即点A(x1,y1)，B(x2,y2)都在直线y0y?mx?1上， 1又M(,0)也在y0y?mx?1上， m则 ∴A、M、B三点共线。 QQ：84024795 E-mail: wangsheng@bdfzgz.net 第20页 （共37页）