2008年高考数学试题分类汇编 北大附中广州实验学校 王 生
?4?5k?5?4k???2??21600(1?k2)2?40?????， 2281(1?k)?9?22当且仅当4?5k?5?4k时等号成立，即k??1时等号成立，此时△AMB面积的最小值是
40S△AMB?．
9140当k?0，S△AMB??25?2?25?．
29140当k不存在时，S△AMB??5?4?25?．
2940综上所述，△AMB的面积的最小值为．
911114?5k2?5?4k29???解法二：因为?， 2222?220(1?k)20(1?k)20(1?k)20OAOM4?5k25?4k240112OA?OM≥又，， ?≥229OA?OMOAOM≥400(1?k2)2222
?5?4k2时等号成立，即k??1时等号成立，
40此时△AMB面积的最小值是S△AMB?．
9140当k?0，S△AMB??25?2?25?．
29140当k不存在时，S△AMB??5?4?25?．
2940综上所述，△AMB的面积的最小值为．
9当且仅当4?5k
20.(2008山东理) 如图，设抛物线方程为x2=2py(p＞0),M为 直线y=-2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B.
（Ⅰ）求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列； （Ⅱ）已知当M点的坐标为（2，-2p）时，
2AB?410，求此时抛物线的方程；
（Ⅲ）是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线
2????????????x?2py(p＞0)上，其中，点C满足OC?OA?OB（O为坐标原点）.
若存在，求出所有适合题意的点M的坐标；若不存在，请说明理由.
2x12x2),B(x2,),x1＜x2,M(x0,?2p). 20．（Ⅰ）证明：由题意设A(x1,2p2pxx22 由x?2py得y?，则y??,
p2pxx 所以kMA?1,kMB?2.
ppQQ：84024795 E-mail: wangsheng@bdfzgz.net 第26页 （共37页）
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x1(x?x0), px 直线MB的方程为y?2p?2(x?x0).
px12x 所以?2p?1(x1?x0), ①
2pp2x2x?2p?2(x2?x0). ② 2pp2x1?x2?x1?x2?x0, 由①、②得
22x1?x2因此 x0?，即2x0?x1?x2.
2
因此直线MA的方程为y?2p?所以A、M、B三点的横坐标成等差数列. （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，当x0=2时， 将其代入①、②并整理得：
x12?4x1?4p2?0,
22 x2?4x2?4p?0,
所以 x1、x2是方程x
?4x?4p2?0的两根， 2因此x1?x2?4,x1x2??4p,
2x2x12?2p2px1?x2x0??, 又kAB?x2?x12pp2所以kAB?.
p2
由弦长公式得
AB?1?k2(x1?x2)2?4x1x2?1?4216?16p. 2p 又
AB?410，
所以p=1或p=2，
因此所求抛物线方程为x2?2y或x2?4y. （Ⅲ）解：设D(x3,y3)，由题意得C(x1+ x2, y1+ y2),
则CD的中点坐标为Q(
x1?x2?x3y1?y2?y3,), 22x设直线AB的方程为y?y1?0(x?x1),
px?x2y1?y2,)也在直线AB上， 由点Q在直线AB上，并注意到点(122x代入得y3?0x3.
p2若D（x3,y3）在抛物线上，则x3?2py3?2x0x3,
因此 x3=0或x3=2x0.
22x0). 即D(0，0)或D(2x0,pQQ：84024795 E-mail: wangsheng@bdfzgz.net 第27页 （共37页）
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（1）当x0=0时，则x1?x2 王 生
?2x0?0，此时，点M(0,-2p)适合题意.
2x12?x222x12?x2x12?x22p),kCD??, （2）当x0?0，对于D(0，0)，此时C(2x0,2p2x04px0x 又kAB?0,AB⊥CD，
p22x0x12?x2x12?x2所以kAB?kCD?????1, 2p4px04p222即x1?x2??4p,矛盾.
222x0x12?x2对于D(2x0,),因为C(2x0,),此时直线CD平行于y轴，
p2px又kAB?0?0,
p所以 直线AB与直线CD不垂直，与题设矛盾， 所以x0?0时，不存在符合题意的M点. 综上所述，仅存在一点M(0，-2p)适合题意.
21.(2008陕西文、理)已知抛物线C：y?2x2，直线y?kx?2交C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交C于点N．
（Ⅰ）证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行；
????????（Ⅱ）是否存在实数k使NA?NB?0，若存在，求k的值；若不存在，说明理由．
2x12)，B(x2，2x22)，把y?kx?2代入y?2x2得2x2?kx?2?0， 21. 解法一：（Ⅰ）如图，设A(x1，k，x1x2??1， 2?kk2?x1?x2k?，?N点的坐标为?，?． ?xN?xM?24?48?由韦达定理得x1?x2?y M 2 B 1 N x A k2?k?O 1 ?m?x??， 设抛物线在点N处的切线l的方程为y?8?4?mkk222??0， 将y?2x代入上式得2x?mx?48?直线l与抛物线C相切，
?mkk2?2???m?8????m2?2mk?k2?(m?k)2?0，?m?k．
?48?即l∥AB．
????????（Ⅱ）假设存在实数k，使NA?NB?0，则NA?NB，又?M是AB的中点，
1?|MN|?|AB|．
2111由（Ⅰ）知yM?(y1?y2)?(kx1?2?kx2?2)?[k(x1?x2)?4]
222?k21?k2???4???2． 2?2?4QQ：84024795 E-mail: wangsheng@bdfzgz.net 第28页 （共37页）
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k2k2k2?16|MN|?|yM?yN|??2??． ?MN?x轴，?4882又|AB|?1?k?|x1?x2|?1?k2?(x1?x2)2?4x1x2
12?k?2k?1?k2?16． ?1?k????4?(?1)?2?2?k2?1612??k?1?k2?16，解得k??2．
84????????即存在k??2，使NA?NB?0．
22x12)，B(x2，2x2)，把y?kx?2代入y?2x2得 解法二：（Ⅰ）如图，设A(x1，k2x2?kx?2?0．由韦达定理得x1?x2?，x1x2??1．
2?kk2?x1?x2k?，?N点的坐标为?，?．?y?2x2，?y??4x， ?xN?xM?24?48?k?抛物线在点N处的切线l的斜率为4??k，?l∥AB．
4????????（Ⅱ）假设存在实数k，使NA?NB?0．
???????k2k2????k2k2?2x1??，NB??x2?，2x2??，则 由（Ⅰ）知NA??x1?，4848?????????????k??k??2k2??2k2?NA?NB??x1???x2????2x1???2x2??
4??4??8??8??k??k??2k2??2k2????x1???x2???4?x1???x2??
4??4??16??16??k??k??k??k??????x1???x2????1?4?x1???x2???
4??4??4??4?????kk2??k2???x1x2??x1?x2?????1?4x1x2?k(x1?x2)??
416??4???kkk2??kk2????1??????1?4?(?1)?k???
4216??24???k2??3????1????3?k2?
16??4???0，
k23??1??0，??3?k2?0，解得k??2．
4?16???????即存在k??2，使NA?NB?0．
2x2222．(2008上海文) 已知双曲线C：?y?1．
2（1）求双曲线C的渐近线方程； （2）已知点M的坐标为(01，)．设p是双曲线C上的点，Q是点P关于原点的对称点．
?????????MQ．求?的取值范围； 记??MP?QQ：84024795 E-mail: wangsheng@bdfzgz.net 第29页 （共37页）
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（3）已知点D，E，M的坐标分别为(?2，?1)，，(2?1)，，(01)，P为双曲线C上在第一象限内的点．记l为经过原点与点P的直线，s为△DEM截直线l所得线段的长．试将s表示为直线l的斜率k的函数．
22、【解】（1）所求渐近线方程为y?
22x?0,y?x?0 ……………...3分 22（2）设P的坐标为?x0,y0?，则Q的坐标为??x0,?y0?， …………….4分
???????????MP?MQ??x0,y0?1????x0,?yo?1?
3222 ??x0?y0?1??x0?2. ……………7分
2?x0?2
??的取值范围是(??,?1]. ……………9分
（3）若P为双曲线C上第一象限内的点， 则直线l的斜率k??0,???2??. 2?? ……………11分
由计算可得，当k?(0,]时,s?k??当k??,1221?k2; 21?k
……………15分
?12?2k?1时,sk?1?k2. ???2?22?k?k??
1?221?k,k?(0,],?1?k22?∴ s表示为直线l的斜率k的函数是s?k???….16分
??2k?112?1?k2,k??2?2,2??.?k?k???
23.(2008上海理)设P(a,b)（b≠0）是平面直角坐标系xOy中的点，l是经过原点与点(1,b)的直线，记Q是直线l与抛物线x2＝2py（p≠0）的异于原点的交点 ⑴已知a＝1，b＝2，p＝2，求点Q的坐标
x221
⑵已知点P(a,b)（ab≠0）在椭圆+y＝1上，p＝，求证：点Q落在双曲线4x2－4y2＝1上
42ab1
⑶已知动点P(a,b)满足ab≠0，p＝，若点Q始终落在一条关于x轴对称的抛物线上，试问动点P的
2ab
轨迹落在哪种二次曲线上，并说明理由 23．解
（1）当a?1,b?2,p?2时，
?x2?4y?x?8解方程组? 得? 即点Q的坐标为(8,16)
?y?16?y?2x?1x??21?1b?x?y?a（2）【证明】由方程组? 即点Q的坐标为(,) ab 得?aab??y?bxy???a?a22∵P时椭圆上的点，即?b?1
41b4∴4()2?4()2?2(1?b2)?1 ，因此点Q落在双曲线4x2?4y2?1上
aaa2（3）设Q所在的抛物线方程为y?2q(x?c),q?0
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