2008年高考数学试题分类汇编 北大附中广州实验学校 王 生
1bb21将Q(,)代入方程，得2?2q(?c)，即b2?2qa?2qca2
aaaa当qc?0时，b2?2qa，此时点P的轨迹落在抛物线上；
11221当qc?时，(a?)?b?2 ，此时点P的轨迹落在圆上；
22c4c12(a?)b212c当qc?0且qc?时，??1，此时点P的轨迹落在椭圆上；
1q24c22c1(a?)2b22c当qc?0时??1，此时点P的轨迹落在双曲线上；
1q(?)4c22cx2y2224．(2008四川文)设椭圆2?2?1,?a?b?0?的左右焦点分别为F，离心率，点F2到右,Fe?12ab2准线为l的距离为2 （Ⅰ）求a,b的值；
??????????（Ⅱ）设M,N是l上的两个动点，FM?F2N?0， 1????????????????证明：当MN取最小值时，FF12?F2M?F2N?0
aa24．【解】：因为e?，F2到l的距离d??c，所以由题设得
cc?a2???2 解得c?2,a?2 ?c?a?c?2??c222由b?a?c?2，得b?2 2,0，l的方程为x?22 （Ⅱ）由c?2,a?2得F1?2,0,F2?????6 y1?22,y?,N?2???????????由知FM?FN?0知 ?2故可设M112,y2
2?2,y1?22?2,y2?0
?2?得y1y2
??6，所以y1y2?0,y2??MN?y1?y2?y1?61?y1??26 y1y1当且仅当y1??6时，上式取等号，此时y2??y1
???????????????2,y1?2,y2 所以，FF12?F2M?F2N??22,0?? ??0,y1?y2??0
??????【点评】：此题重点考察椭圆基本量间的关系，进而求椭圆待定常数，考察向量与椭圆的综合应用； 【突破】：熟悉椭圆各基本量间的关系，数形结合，熟练进行向量的坐标运算，设而不求消元的思想在圆锥曲线问题中应灵活应用。
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x2y2225．(2008四川理) 设椭圆2?2?1,?a?b?0?的左右焦点分别为F，离心率，右准线为,Fe?12a????b?????2?l，M,N是l上的两个动点，FM?F2N?0 1???????????F2N?25，求a,b的值； （Ⅰ）若FM1???????????????（Ⅱ）证明：当MN取最小值时，FM?F2N与FF112共线。
a2，得a2?2b2 ?c2?2??2? F?a，0，F0??1??2?2??2a，?，l的方程为x?2a
????设M2a，y1，N2a，y2
25．【解】：由a2?b2?c2与e???????????32??2??????则FM??F2N??1?2a，y1??，?2a，y2??
??????????????32yy??a＜0 ① 由FM得?FN?012122???????????F2N?25，得 （Ⅰ）由FM1?32?2a?y?25 ② ??1?2???2?2?2a?y??2?25 ③ ?2???由①、②、③三式，消去y1,y2，并求得a2?4
2?2 故a?2,b?222222（Ⅱ）MN??y1?y2??y1?y2?2y1y2??2y1y2?2y1y2??4y1y2?6a
2666a或y2??y1?a时，MN取最小值a 222???????????32???????2?此时，FM?F2N??1?2a，y1?????2a，y2???22a,y1?y2?22a,0?2F1F2
???????????????????故FM?F2N与FF112共线。
当且仅当y1??y2?????【点评】：此题重点考察椭圆中的基本量的关系，进而求椭圆待定常数，考察向量的综合应用； 【突破】：熟悉椭圆各基本量间的关系，数形结合，熟练地进行向量的坐标运算，设而不求消元的思想在圆锥曲线问题中的灵活应用。
26．(2008天津文、理)已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F，0)，一条渐近线的方程是1(?35x?2y?0．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）若以k(k?0)为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M，N，且线段MN的垂直平分线
81与两坐标轴围成的三角形的面积为，求k的取值范围．
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26．本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定比分点等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．满分14分．
x2y2（Ⅰ）解：设双曲线C的方程为2?2?1(a?0，b?0)，由题设得
ab?a2?b2?9，2???a?4， ?b5 解得?2.??b?5.???a2x2y2??1． 所以双曲线C的方程为
45（Ⅱ）解：设直线l的方程为y?kx?m(k?0)，点M(x1，y1)，N(x2，y2)的坐标满足方程组
①?y?kx?m，?2 ?xy2??1. ②?45?x2(kx?m)2??1，整理得 将①式代入②式，得45(5?4k2)x2?8kmx?4m2?20?0．
2此方程有两个不等实根，于是5?4k?0，且 ??(?8km)2?4(5?4k2)(4m2?20)?0．整理得 m2?5?4k2?0． ③
由根与系数的关系可知线段MN的中点坐标(x0，y0)满足
x?x4km5mx0?12?y?kx?m?，． 002225?4k5?4k从而线段MN的垂直平分线的方程为
5m1?4km?． y???x?2?5?4k2k?5?4k??9m??9km?，?此直线与x轴，y轴的交点坐标分别为?．由题设可得 ，00，??22??5?4k??5?4k?19km9m81． ??2225?4k5?4k2整理得
(5?4k2)2，k?0． m?k2(5?4k2)2?5?4k2?0， 将上式代入③式得
k整理得
(4k2?5)(4k2?k?5)?0，k?0．
55或k?．
425??5??5??5???????，0?0，?，∞?所以k的取值范围是??∞， ?????????4??2??2??4??解得0?k?
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27.（2008浙江文、理）已知曲线C是到点P（? 王 生
135,）和到直线y??距离相等的点的轨迹。l是288过点Q（-1，0）的直线，M是C上（不在l上）的动点；A、B在l上，MA?l,MB?x轴（如
图）。
（Ⅰ）求曲线C的方程；
y2MBOQB （Ⅱ）求出直线l的方程，使得为常数
QA
lAxQ27．本题主要考查求曲线的轨迹方程、两条直线的位置
关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．满分15分． （Ⅰ）解：设N(x，y)为C上的点，则
3??1??|NP|??x????y??，
?2??8?55N到直线y??的距离为y?．
88225?1??3?由题设得?x????y???y?．
8?2??8?12化简，得曲线C的方程为y?(x?x)．
2（Ⅱ）解法一：
22?x2?x?设M?x，?，直线l:y?kx?k，则
2??y Q O M A B l x B(x，kx?k)，从而|QB|?1?k2|x?1|． 在Rt△QMA中，因为
x2?22?|QM|?(x?1)?1??， 4??x?(x?1)?k??2???． 2|MA|?1?k222(x?1)2(kx?2)2 . 所以|QA|?|QM|?|MA|?24(1?k)|x?1|?|kx?2|， |QA|?221?k222|QB|22(1?k2)1?k2x?1??．
2|QA||k|x?k|QB|2?55， 当k?2时，
|QA|从而所求直线l方程为2x?y?2?0．
?x2?x?解法二：设M?x，，直线l:y?kx?k，则B(x，kx?k)，从而 ?2??QQ：84024795 E-mail: wangsheng@bdfzgz.net 第34页 （共37页）
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|QB|?1?k2|x?1|． 过Q(?10)，垂直于l的直线l1:y??因为|QA|?|MH|，所以|QA|?1(x?1)． k|x?1|?|kx?2|21?k2，
l1 H y M B A l x |QB|22(1?k2)1?k2x?1． ??2|QA||k|x?k|QB|2当k?2时，?55，
|QA|从而所求直线l方程为2x?y?2?0． PM?PN?2.
（Ⅰ）求点P的轨迹方程;
（Ⅱ）设d为点P到直线l：
Q O
28.(2008重庆文) 如题（21）图，M（-2，0）和N（2，0）是平面上的两点，动点P满足：
1x?的距离，若
2PM?2PN,求
2PM的值. d
28.（本小题12分） 解：（I）由双曲线的定义，点P的轨迹是以M、N为焦点，实轴长2a=2的双曲线.
因此半焦距c=2，实半轴a=1，从而虚半轴b=3, y2所以双曲线的方程为x=1.
32-
(II)解法一：
由（I）由双曲线的定义，点P的轨迹是以M、N为焦点，实轴长2a=2的双曲线. 因此半焦距e=2，实半轴a=1，从而虚半轴b=3. y2R所以双曲线的方程为x-=1. 32
(II)解法一：
由（I）及答（21）图，易知|PN|?1,因|PM|=2|PN|2, ① 知|PM|>|PN|,故P为双曲线右支上的点，所以|PM|=|PN|+2. ② 将②代入①，得2||PN|2-|PN|-2=0，解得|PN|=|PN|=1?171?17,所以 ,舍去441?17. 4c1|PN|=2,直线l:x=是双曲线的右准线，故=e=2, a2d因为双曲线的离心率e=所以d=
1|PN|,因此 2QQ：84024795 E-mail: wangsheng@bdfzgz.net 第2页 （共37页）