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九年级实验班数学竞赛试卷
15．已知关于x的方程x3－ax2－2ax+a2－1=0有且只有一个实数根. 求实数a的取值范围.
16．如图所示，在平面直角坐标系中有点A（-1，0）、点B（4，0），以AB为直径的半圆交y轴正半轴于点C。
（1）求点C的坐标；
（2）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，若在抛物线上有一点D，使四边形BOCD为直角梯形，求直线BD
的解析式。
C y
A -1 0 B 4 x
17．如图，⊙O为△ABC的外接圆，∠BAC=60°，H为边AC、AB上高BD、CE的交点，在
BD上取点M，使BM=CH。
A （1）求证：∠BOC=∠BHC；
E （2）求证：△BOM≌△COH；
O H D MH （3）求的值.
M OHC B
第17题图
18．一个棋盘有13行17列，每个小方格里都写了一个数，从左上角开始，第一行依次为
1, 2, ???, 17；第二行依次为18, 19, ???, 34; ???，一直写到最后一行，现将此棋盘里的
数重写，从左上角开始，第一列从上到下依次为1, 2, ??? , 13；第二列从上到下依次为14, 15, ???, 26；???，一直写到最后一列，这样有一些小方格在两种写法里有相同的数，求所有这些小方格里（有相同数的）的数之和是多少？
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15、将原方程视为a的一元二次方程，即a2－( x2+2x)a+x3－1=0. 分解因式得[a－(x－1)][a
－(x2+x+1)]=0. 则x=a+1或x2+x+1－a=0①.（6分）
因x=a+1不是方程①的根，所以，当方程①无实根时，原方程有且只有一个实根. 于是
△=1－4 ( 1－a)<0. 解得a<
34.（6分）
16、（1）解：如图，连结AC，CB。
依相交弦定理的推论可得OC=OA·OB，解得OC=2。 ∴C点的坐标为（0，2）（2分）
（2）解法一：设抛物线解析式是y=ax2+bx+c(a≠0)。（1分） 把A（-1，0），B（4，0），C（0，2）三点坐标代入上式得： ?a?b?c?02?0 ?16a?4b?c?，解之得 b?3
2?c?2?c?2a??12
y C D ∴抛物线解析式是y??12x?232x?2。（4分）
A 解法二：设抛物线解析式为y?a(x?1)(x?4)（1分） -1 把点C（0，2）的坐标代入上式得a??∴抛物线解析式是y??12x?20 B 4 x 12。
32x?2。（4分）
（3）解法一：如图，过点C作CD∥OB，交抛物线于点D，则四边形BOCD为直角梯形。设点D的坐标是（x，2）代入抛物线解析式整理得x2-3x=0，解之得x 1=0，x 2=3。 ∴点D的坐标为（3，2）（2分） 设过点B、点D的解析式为y=kx+b。
把点B（4，0），点D（3，2）的坐标代入上式得
?4k?b?0?k??2 解之得 （2分） ???b?8?3k?b?2∴直线BD的解析式为y=-2x+8（1分）
解法二：如图，过点C作CD∥OB，交抛物线于点D，则四边形BOCD为直角梯形。 由（2）知抛物线的对称轴是x?∴过D的坐标为（3，2）。 （下同解法一）
17、（1）由∠BAC=60°知∠BOC=2∠BAC=120°. 因∠BHC=∠DHE=360°－（90°+90°+∠BAC）
=120°，所以，∠BOC=∠BHC.（3分）
（2）由OB=OC，得∠OBC=∠OCB. 又∠BOC=120°，则∠OBC=
1232，
（180°－120°）=30°，
而∠HBC=90°－∠BCA，知∠OBM=∠OBC－∠HBC=∠BCA－60°. 又∠OCH=∠HCB－∠BCO=∠HCB－（180°－120°）=∠HCB－30°，但∠HCA=90°－∠BAC=90°－60°=30°，
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所以，∠OCH=∠HCB+∠HCA－30°－30°=∠BCA－60°. 从而，∠OBM=∠OCH. 又因为
BM=CH，OB=OC，故△BOM≌△COH.（4分） （3）由（2）得OH=OM，且∠COH=∠BOM，从而，∠OHM=∠OMH，∠MOH=∠BOC=120°，∠OHM=（180°－120°）=30°. 在△OMH中，作OP⊥MH，P为垂足，则OP=
2MH?1??1?勾股定理，得?MH??OH2?OP2?OH2??OH?. 所以，?OH?2??2?22112OH. 由
3.（5分）
18、555。位于从上往下数第m行，从左往右数第n列小方格中的数用（m, n）表示. 在原来状态下，数（m, n）是17（m－1）+n. 在后来的状态中，数（m, n）是13（n－1）+m，由17（m－1）+n=13（n－1）+m得4m－3n=1；这里1≤m≤13，1≤n≤17，解得（m, n）
=（1, 1），（4，5），（7, 9），（10, 13），（13, 17）. 这些方格中的数分别为1, 56, 111, 166, 221，它们的和为555.（14分）
2011年杭州市各类高中招生文化考试
22. （本小题满分10分）
在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=2BC=2CD，对角线AC与BD相交于点O，线段OA，OB的中点分别为E，F。 （1）求证：△FOE≌△DOC； （2）求sin∠OEF的值；
（3）若直线EF与线段AD，BC分别相交于点G，H，
求
23. （本小题满分10分）
设函数y?kx?(2k?1)x?1（k为实数）
（1）写出其中的两个特殊函数，使它们的图像不全是抛物线，并在同一直角坐标系中，
用描点法画出这两个特殊函数的图像；
（2）根据所画图像，猜想出：对任意实数k，函数的图像都具有的特征，并给予证明； （3）对任意负实数k，当x?m时，y随着x的增大而增大，试求出m的一个值 ．
24. （本小题满分12分）
图形既关于点O中心对称，又关于直线AC，BD对称，AC=10，BD=6，已知点E，M
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2AB?CDGH的值。
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是线段AB上的动点（不与端点重合），点O到EF，MN的距离分别为h1，h2，△OEF与△OGH组成的图形称为蝶形。 （1）求蝶形面积S的最大值；
（2）当以EH为直径的圆与以MQ为直径的圆重合
时，求h1与h2满足的关系式，并求h2的取值范围。
22、解：（1）?EF是?OAB的中位线，?EF//AB,EF? 而CD?112AB
AB,CD//AB 2 ?EF?CD,?OEF??OCD,?OFE??ODC
FOE??D O ?? （2）?AC?AB?BC22?4BC?BCBCAC?151322?555BC
?sin?OEF?sin?CAB??
（3）?AE?OE?OC,EF//CD
AEG? ???A，C?13CD
EGCD?AEAC?,即EG?13CD
同理FH? ?AB?CDGH?2CD?CDCD3?CD?CD32?95
23、解：（1）如两个函数为y?x?1,y?x?3x?1，函数图形略；
（2）不论k取何值，函数y?kx?(2k?1)x?1的图象必过定点(0,1),(?2,?1)，
且与x轴至少有1个交点.证明如下：
由y?kx?(2k?1)x?1，得k(x?2x)?(x?y?1)?0
当x?2x?0,且x?y?1?0，即x?0,y?1，或x??2,y??1时，上式对任意实数k都成立，所以函数的图像必过定点(0,1),(?2,?1). 又因为当k?0时，函数y?x?1的图像与x轴有一个交点；
22???(2k?1)?4k?4k?1?0，当k?0时，所以函数图像与x轴有两个交点.
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所以函数y?kx2?(2k?1)x?1的图象与x轴至少有1个交点.
（3）只要写出m??1的数都可以.
?k?0，?函数y?kx2?(2k?1)x?1的图像在对称轴直线x??2k?12k
的左侧，y随x的增大而增大. 根据题意，得m?? 所以m??1.
24、解：（1）由题意，得四边形ABCD是菱形.
由EF//BD，得?ABD??AEF，?6EF6?5?h15652k?12k，而当k?0时，?2k?12k??1?12k??1
，即EF?2?5?h1?
?S?2S?OEF6?5?15 ?EF?h1??5?h1??h1???h1???55?2?2所以当h1?52时，Smax?152.
（2）根据题意，得OE?OM.
如图，作OR?AB于R， OB关于OR对称线段为OS， 1）当点E,M不重合时，则OE,OM在OR的两侧，易知RE?RM.
22?AB?5?3?34，?OR?1534
BERMS?BR??15?23????34??2934?
OKLA由ML//EK//OB，得
OKOAOLOABEABOKOA?BEOLBM,? ABOAAB????BMAB2BRAB，即
h15?h25?917
4534?h1?h2?4517，此时h1的取值范围为0?h1?4517且h1?
2）当点E,M重合时，则h1?h2，此时h1的取值范围为0?h1?5.
中国教育学会中学数学教学专业委员会 “《数学周报》杯”2011年全国初中数学竞赛试题
2（11）已知关于x的一元二次方程x?cx?a?0的两个整数根恰好比方程
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