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∴如果他要打破纪录，第7次射击不能少于8环 …………（3分） （2）52+8+x8+x9+x10>89 而 x8+x9+x10>29
又x8、x9、x10只取1～10中的正整数 ∴x8=x9=x10=10
即：要有3次命中10环才能打破纪录 …………（3分） （3）52+10+x8+x9+x10>89 而x8+x9+x10>27
又x8、x9、x10只取1～10中的正整数 ∴x8、x9、x10中至少有一个为10
即：最后三次射击中必须至少有一次命中10环才可能打破纪录 （4分）
20：解：原不等式可化为：m(m?2)x?m?2 （1分）
(1) 当m?2?0即m?2时，mx?1，不等式的解为x?(2) 当m?2?0即m?2时，mx?1．
① 0?m?2时，不等式的解为x?② m?0时，不等式的解为x?1m1m1m； （2分）
； （2分）
； （2分）
③ m?0时，不等式的解为全体实数． （1分）
(3) 当m?2?0即m?2时，不等式无解． （1分）
1m综上所述：当m?0或m?2时，不等式的解为x?解为x?1m；当0?m?2时，不等式的
；当m?0时，不等式的解为全体实数；当m?2时，不等式无解．（1分）
21.证明：过D作DE ? AC于E
? ?BAC = 900
? DE∥AB ?DEAB?CDCB?15
AEAC?BDCB?45 （3分）
又? AB切圆于点G
? AG2?AF?AC（切割线定理） 12又? AG =
AB
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? 1AB42?AF?AC 4ACAB?5AE5DE?AEDE? ABAF?
?
Rt△AED ∽Rt△ABF （5分）
? ?EAD = ?ABF
? ?EAD + ?DAB = 900
? ?ABF + ?DAB = 90
0 即 AD ? BF （2分）
22：（1）：① ?2,0? （1分） x??2 （1分）
②x2??24y （2分）
（2）：y2?16x （3分）
（3）：16/3 （三分之十六） （3分）
2011年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准
一、（本题满分20分）已知三个不同的实数a,b,c满足a?b?c?3，方程
222x?ax?1?0和x?bx?c?0有一个相同的实根，方程x?x?a?0和
x?cx?b?0也有一个相同的实根．求a,b,c的值．
2解 依次将题设中所给的四个方程编号为①，②，③，④．
?x12?ax1?1?0,设x1是方程①和方程②的一个相同的实根，则?2 两式相减，可解得
?x1?bx1?c?0,x1?c?1a?b．
………………
……5分
2?x2?x2?a?0,设x2是方程③和方程④的一个相同的实根，则?2两式相减，可解得
?x2?cx2?b?0,x2?a?bc?1。
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所以
2011年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第4页（共8页） x1x2?1． ……………………10分
2又方程①的两根之积等于1，于是x2也是方程①的根，则x2?ax2?1?0。
2又 x2两式相减，得 (a?1)x2?a?1． ……………………?x2?a?0，
15分
若a?1，则方程①无实根，所以a?1，故x2?1．
于是 a??2,b?c??1．又a?b?c?3，解得 b??3,c?2． ……………………20分
二．（本题满分25分）如图，在四边形ABCD中，已知?BAD?60?，?ABC?90?，
?BCD?120?，对角线AC,BD交于点S，且DS?2SB，P为AC的中点．求证：（1）?PBD?30?；（2）AD?DC．
证明 （1）由已知得 ?ADC?90?，从而A,B,C,D四点共圆，AC为直径，P为该圆的圆心． ……………………5分
作PM?BD于点M，知M为BD的中点，所以?BPM＝从而?PBM?30?． ……………………10分
（2）作SN?BP于点N，则SN?又DS?2SB,DM?MB?∴
MS?DS?DM?2SB?32SB?12SB?SN12BD，
12SB．
12?BPD＝?A?60?，
DMPANSCB，
……………………15分
∴ Rt△PMS≌Rt△PNS，∴ ?MPS??NPS?30?， 又PA?PB，所以?PAB?AD?DC．
12?NPS?15?，故?DAC?45???DCA，所以
……………………25分
三．（本题满分25分）已知m,n,p为正整数，m?n．设A(?m,0)O为坐标原点．若?ACB?90?，且OA2，B(n,0)，C(0,p)，
?OB2?OC2?3(OA?OB?OC)．
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（1）证明：m?n?p?3；
（2）求图象经过A,B,C三点的二次函数的解析式．
解 （1）因为?ACB?90?，OC?AB，所以OA?OB?OC2，即mn?p2． 由
m?n?p222OA2?OB2?OC2?3(OA?OB?OC)，得
?3(m?n?p)．…………………5分
又
m?n?p222?(m?n?p)?2(mn?np?mp)?(m?n?p)?2(p?np?mp)
?(m?n?p)?2p(m?n?p)?(m?n?p)(m?n?p)，
2222从而有m?n?p?3，即
2011年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第5页（共8页） m?n?p?3． ……………………10分
（2）由mn?p2，m?n?p?3知m,n是关于x的一元二次方程
x?(p?3)x?p22?0 ①
22的两个不相等的正整数根，从而??[?(p?3)]?4p?0，解得?1?p?3。
又
p为正整数，故p?1或
p?2． ………………………15分
当p?1时，方程①为x?4x?1?0，没有整数解．
当p?2时，方程①为x?5x?4?0，两根为m?1,n?4． 综
合
知
：
22m?1,n?4,p?2． ………………………20分
设图象经过A,B,C三点的二次函数的解析式为y?k(x?1)(x?4)，将点C(0,2)的坐标代入得 2?k?1?(?4)，解得k??所以，图象经过
12．
三点的二次函数的解析式为
A,B,C京翰教育网 http://www.zgjhjy.com/
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y??12(x?1)(x?4)??12x?232x?2．
…………………
……25分
第二试 （B）
一．（本题满分20分）题目和解答与（A）卷第一题相同.
二．（本题满分25分）如图，在四边形ABCD中，已知?BAD?60?，?ABC?90?，
?BCD?120?，对角线AC,BD交于点S，且DS?2SB．求证：AD?DC．
证明 由已知得 ?ADC?90?，从而A,B,C,D四点共圆，AC为直径．
设P为AC的中点，则P为四边形ABCD的外接圆的圆心．
…………………
……5分
作PM?BD于点M，则M为BD的中点,所以A?BPMDMPNSCB＝
12?BPD＝?A?60?，从而
?PBM?30?． ………………………10分
作SN?BP于点N，则SN?又DS?2SB,DM?MB?∴
MS?DS?DM?2SB?32SB?121212SB．
BD，
SB?SN， ………………………
15分
∴ Rt△PMS≌Rt△PNS，∴?MPS??NPS?30?， 又PA?PB，所以?PAB?AD?DC．
12?NPS?15?，所以?DAC?45???DCA，所以
……………
…………25分
2011年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第6页（共8页） 三．（本题满分25分）已知m,n,p为正整数，m?n．设A(?m,0)，B(n,0)，C(0,p)，
222O为坐标原点．若?ACB?90?，且OA＋OB＋OC＝3(OA＋OB＋OC）．求图象
经过A,B,C三点的二次函数的解析式．
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