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解 因为?ACB?90?，OC?AB，所以 OA?OB?OC2，即mn?p2． 由
m?n?p222OA2?OB2?OC2?3(OA?OB?OC)，得
?3(m?n?p)．…………………5分
又
m?n?p222?(m?n?p)?2(mn?np?mp)?(m?n?p)?2(p?np?mp)
?(m?n?p)?2p(m?n?p)?(m?n?p)(m?n?p)，
2222从而有
m?n?p?3，即
m?n?p?3． ………………………10分
又mn?p2，故m,n是关于x的一元二次方程
x?(p?3)x?p22?0 ①
的两个不相等的正整数根，从而??[?(p?3)]2?4p2?0，解得?1?p?3。
又
p为正整数，故p?1或
p?2． ………………………15分
当p?1时，方程①为x2?4x?1?0，没有整数解．
当p?2时，方程①为x?5x?4?0，两根为m?1,n?4． 综
合
知
：
2m?1,n?4,p?2． ………………………20
分
设图象经过A,B,C三点的二次函数的解析式为y?k(x?1)(x?4)，将点C(0,2)的坐标代入得 2?k?1?(?4)，解得k??所以，图象经过
y??12(x?1)(x?4)??12x?212．
三点的二次函数的解析式为
A,B,C32x?2．
………………………25分
第二试 （C）
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一．（本题满分20分）题目和解答与（A）卷第一题相同.
二．（本题满分25分）如图，已知P为锐角△ABC内一点，过P分别作BC,AC,AB的垂线，垂足分别为D,E,F，BM为?ABC的平分线，MP的延长线交AB于点N．如果PD?PE?PF，求证：CN是?ACB的平分线．
2011年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第7页（共8页） 证明 如图1，作MMNN?AC于点N2．
AN2M2FNPEM1?BC于点M1，MM2?AB于点M2，NN1?BC于点N1，
2
PNH1MHBN1DM1C
N1DM1设NP??NM，∵
NN1//PD//MM1， ∴
N1D??N1M1． ………………………5分
若NN1?MM1，如图2，作NH?MM1，分别交MM1,PD于点H,H1，则△NPHPH1MHNPNM1∽△NMH，∴
∴
???，∴ PH1??MH，
PD?PH1?H1H??MH?NN1??(MM1?NN1)?NN??MM11??MM1?(1??)NN1．
若NN若
1?MM1，则PD?NNNN11?MM1?(1??)NN1．
?MM1，同理可证
PD??MM1?(1??)NN1． ………………………15分
PENN2∵PE//NN2，∴
?PMNM?1??，∴PE?(1??)NN2．
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∵
PF//MM2，∴
PFMM2?NPNM??，∴
PF??MM2． ………………………20分
又PD?PE?PF，∴ ?MM1?(1??)NN1??MM2?(1??)NN2．
1又因为BM是?ABC的平分线，所以MM1?MM2，∴ (1??)NN显然??1，即1???0，∴ NN1 ?(1??)NN2．
?NN2，∴CN是?ACB的平分线．
2007年全国数学竞赛（浙江赛区）初赛试题
11b2
15．已知b－a＝，2a＋a＝，求－a的值．
74a
16．现有a根长度相同的火柴棒，按如图1摆放可摆成m个正方形，按如图2摆放时可摆
成2n个正方形．
（图1） （图2） （图3）
（1）用含n的代数式表示m；
（2）当这a根火柴棒还能摆成如图3所示的形状时，求a的最小值．
17．如图，已知直径与等边三角形ABC的高相等的圆与AB和BC边相切于点D和E，与
AAC边相交于点F和G，求∠DEF的度数．
G
D
F
CBE
18．已知抛物线l1：y＝ax2－2amx＋am2＋2m＋1（a＞0，m＞0）的顶点为A，抛物线l2的顶点B在y轴上，且抛物线l1和抛物线l2关于点P（1，3）成中心对称． （1）当a＝1时，求l2的解析式和m的值；
（2）设l2与x轴正半轴的交点是C，当△ABC为等腰三角形时，求a的值． y
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